【bzoj3451】Tyvj1953 Normal 期望+树的点分治+FFT

题目描述

给你一棵 $n$ 个点的树，对这棵树进行随机点分治，每次随机一个点作为分治中心。定义消耗时间为每层分治的子树大小之和，求消耗时间的期望。

输入

第一行一个整数n，表示树的大小
接下来n-1行每行两个数a,b，表示a和b之间有一条边
注意点是从0开始标号的

输出

一行一个浮点数表示答案
四舍五入到小数点后4位
如果害怕精度跪建议用long double或者extended

样例输入

3
0 1
1 2

样例输出

5.6667

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题解

期望+树的点分治+FFT

由于期望可加，因此所求等于 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nP(j在i的点分树子树内)$ 。

而 $j$ 在 $i$ 的点分树子树内，又相当于：$i$ 到 $j$ 的路径上的所有点中（包括 $i$ 和 $j$），$i$ 是第一个选择的。因为如果其它点先被选择则会将 $i$ 与 $j$ 分开，使得 $j$ 不在 $i$ 的点分树内。

这些点中，显然每个点作为第一个选择的点的概率都是相等的，因此概率为 $\frac 1{dis(i,j)}$ （ $dis(i,i)=1$ ）。

所求转化为求 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ndis(i,j)$ ，即求距离等于每个值的点对数目。

考虑点分治，每次统计经过根节点路径的答案。dfs一遍子树得出距离等于每个值的点的个数，用容斥（任选两个 - 在同一棵子树内选两个）的方法得出答案。

容易发现求答案的过程实际上就是自身与自身求卷积，因此使用FFT快速求解。

由于距离范围（多项式次数）不会超过子树大小，因此时间复杂度为 $T(n)=O(n\log n)+2(T(\frac n2)+O(\frac n2\log n))=O(n\log^2n)$ 

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 30010
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
struct data
{
	double x , y;
	data() {}
	data(double a , double b) {x = a , y = b;}
	data operator+(const data &a)const {return data(x + a.x , y + a.y);}
	data operator-(const data &a)const {return data(x - a.x , y - a.y);}
	data operator*(const data &a)const {return data(x * a.x - y * a.y , x * a.y + y * a.x);}
}A[65550];
int head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , vis[N] , si[N] , ms[N] , sum , root , deep[N] , val[N] , tot , num[N];
inline void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void getroot(int x , int fa)
{
	int i;
	si[x] = 1 , ms[x] = 0;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(!vis[to[i]] && to[i] != fa)
			getroot(to[i] , x) , si[x] += si[to[i]] , ms[x] = max(ms[x] , si[to[i]]);
	ms[x] = max(ms[x] , sum - si[x]);
	if(ms[x] < ms[root]) root = x;
}
void getdeep(int x , int fa)
{
	int i;
	val[++tot] = deep[x];
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(!vis[to[i]] && to[i] != fa)
			deep[to[i]] = deep[x] + 1 , getdeep(to[i] , x);
}
void fft(data *a , int n , int flag)
{
	int i , j , k;
	for(i = k = 0 ; i < n ; i ++ )
	{
		if(i > k) swap(a[i] , a[k]);
		for(j = n >> 1 ; (k ^= j) < j ; j >>= 1);
	}
	for(k = 2 ; k <= n ; k <<= 1)
	{
		data wn(cos(2 * pi * flag / k) , sin(2 * pi * flag / k));
		for(i = 0 ; i < n ; i += k)
		{
			data w(1 , 0) , t;
			for(j = i ; j < i + (k >> 1) ; j ++ , w = w * wn)
				t = w * a[j + (k >> 1)] , a[j + (k >> 1)] = a[j] - t , a[j] = a[j] + t;
		}
	}
	if(flag == -1)
		for(i = 0 ; i < n ; i ++ )
			a[i].x /= n;
}
void calc(int flag)
{
	int i , mx = 0 , n = 1;
	for(i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) mx = max(mx , val[i]);
	while(n <= 2 * mx) n <<= 1;
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) A[i].x = A[i].y = 0;
	for(i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) A[val[i]].x ++ ;
	fft(A , n , 1);
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) A[i] = A[i] * A[i];
	fft(A , n , -1);
	for(i = 0 ; i <= 2 * mx ; i ++ ) num[i] += flag * (int)(A[i].x + 0.1);
}
void dfs(int x)
{
	int i;
	vis[x] = 1 , deep[x] = tot = 0 , getdeep(x , 0) , calc(1);
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
	{
		if(!vis[to[i]])
		{
			deep[to[i]] = 1 , tot = 0 , getdeep(to[i] , 0) , calc(-1);
			sum = si[to[i]] , root = 0 , getroot(to[i] , 0) , dfs(root);
		}
	}
}
int main()
{
	int n , i , x , y;
	long double ans = 0;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , add(x + 1 , y + 1) , add(y + 1 , x + 1);
	sum = ms[0] = n , root = 0 , getroot(1 , 0) , dfs(root);
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) ans += (long double)num[i] / (i + 1);
	printf("%.4Lf\n" , ans);
	return 0;
}