【bzoj4008】[HNOI2015]亚瑟王 概率dp

题目描述

$n$ 张牌，$r$ 轮游戏，每轮从左向右操作，遇到第 $i$ 张牌有 $p_i$ 的概率选中，选中会产生 $d_i$ 的贡献，丢弃掉该牌并结束这一轮，否则继续下一张。问最终的期望贡献。

输入

输入文件的第一行包含一个整数 T，代表测试数据组数。 

接下来一共 T 组数据。 

每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n 和 r ，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。 

接下来 n 行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第 i 行的两个数为 pi 和 di ，分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证 pi 最多包含 4 位小数，且为一个合法的概率。 

输出

对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案，o是输出)，你的输出才会被判为正确。

建议输出10 位小数。 

样例输入

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

样例输出

3.2660250000

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题解

概率dp

这种神题像我这种傻逼大概一辈子也想不出来。。。

考虑将这 $r$ 次操作一起进行，设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个人，还剩 $j$ 次选择机会的概率。

考虑 $f[i][j]$ 的转移：

如果 $i$ 没有被选择，则 $j$ 次机会都不能选中，$f[i][j]=f[i-1][j]·(1-p[i])^j$ ；

如果 $i$ 有被选择，则 $j+1$ 次机会不能都不选中， $f[i][j]=f[i-1][j+1]·(1-(1-p[i])^{j+1})$ 。

因此总的状态转移方程就是 $f[i][j]=f[i-1][j]·(1-p[i])^j+f[i-1][j+1]·(1-(1-p[i])^{j+1})$ 。

得到所有的 $f$ 之后即可统计答案。对于第 $i$ 张牌，它被选中的概率是 $\sum\limits_{j=0}^mf[i-1][j]·(1-(1-p[i])^j)$ ，再乘上 $d[i]$ 即为贡献。

时间复杂度 $O(Tnr)$ 

#include <cmath>
#include <cstdio>
double f[230][140] , p[230] , d[230];
int main()
{
	int T;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		int n , m , i , j;
		double ans = 0;
		scanf("%d%d" , &n , &m);
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lf%lf" , &p[i] , &d[i]);
		f[0][m] = 1;
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(j = 0 ; j <= m ; j ++ )
				f[i][j] = f[i - 1][j] * pow(1 - p[i] , j) + f[i - 1][j + 1] * (1 - pow(1 - p[i] , j + 1));
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(j = 0 ; j <= m ; j ++ )
				ans += d[i] * f[i - 1][j] * (1 - pow(1 - p[i] , j));
		f[0][m] = 0;
		printf("%.10lf\n" , ans);
	}
	return 0;
}