【bzoj3875】[Ahoi2014&Jsoi2014]骑士游戏 Spfa优化dp

题目描述

有$n$个怪兽，每个怪兽可以花费$k_i$的代价消灭，或者花费$s_i$的代价将其变为$r_i$个给定的新的怪兽。问消灭1号怪兽的最小代价。

输入

第一行包含一个整数N。

接下来N行，每行描述一个怪兽的信息；

其中第i行包含若干个整数，前三个整数为Si，Ki和Ri，表示对于i号怪兽，

普通攻击需要消耗Si的体力，法术攻击需要消耗Ki的体力，同时i号怪兽死亡后会产生Ri个新的怪兽。表示一个新出现的怪兽编号。同一编号的怪兽可以出现多个。

输出

输出一行一个整数，表示最少需要的体力值。

样例输入

4
4 27 3 2 3 2
3 5 1 2
1 13 2 4 2
5 6 1 2

样例输出

26

---

题解

Spfa优化dp

设$f[i]$表示消灭$i$号怪兽的最小代价，那么显然有状态转移方程$f[i]=min\{k[i],s[i]+\sum\limits_{i\to x}f[x]\}$。

但是这个转移是有环的，因此爆搜是指数级= =

考虑优化dp：设$g[i]$表示$i$用于更新其它点的代价，那么当一个点的$g[i]>f[i]$时，便可以使能变成它的其它点的$f$值减小$g[i]-f[i]$。这个过程类似于最短路，因此可以使用Spfa来优化这个过程。

初始时$f[i]=k[i]$，$g[i]=s[i]+\sum\limits_{i\to x}k[x]$，然后转移即可。

时间复杂度$O(Spfa)=O(能过)$

另外本题可以使用类似于堆优化Dijkstra的优化dp方法解决，参见 Lijinnn's Blog

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#define N 200010
#define M 1000010
using namespace std;
typedef long long ll;
queue<int> q;
int head[N] , to[M] , next[M] , cnt , inq[N];
ll v[N] , f[N] , g[N];
inline char nc()
{
	static char buf[100000] , *p1 , *p2;
	return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf , 1 , 100000 , stdin) , p1 == p2) ? EOF : *p1 ++ ;
}
inline int read()
{
	int ret = 0; char ch = nc();
	while(!isdigit(ch)) ch = nc();
	while(isdigit(ch)) ret = ((ret + (ret << 2)) << 1) + (ch ^ '0') , ch = nc();
	return ret;
}
inline ll llread()
{
	ll ret = 0; char ch = nc();
	while(!isdigit(ch)) ch = nc();
	while(isdigit(ch)) ret = ((ret + (ret << 2)) << 1) + (ch ^ '0') , ch = nc();
	return ret;
}
inline void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
int main()
{
	int n = read() , i , m , x;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		v[i] = llread() , g[i] = llread() , m = read() , inq[i] = 1 , q.push(i);
		while(m -- ) add(read() , i);
	}
	for(x = 1 ; x <= n ; x ++ )
	{
		f[x] += v[x];
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i]) f[to[i]] += g[x];
	}
	while(!q.empty())
	{
		x = q.front() , q.pop() , inq[x] = 0;
		if(f[x] >= g[x]) continue;
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		{
			f[to[i]] -= g[x] - f[x];
			if(!inq[to[i]]) inq[to[i]] = 1 , q.push(to[i]);
		}
		g[x] = f[x];
	}
	printf("%lld\n" , f[1]);
	return 0;
}