【bzoj1190】[HNOI2007]梦幻岛宝珠 分层背包dp

题目描述

给你N颗宝石，每颗宝石都有重量和价值。要你从这些宝石中选取一些宝石，保证总重量不超过W，且总价值最大为，并输出最大的总价值。数据范围：N<=100;W<=2^30,并且保证每颗宝石的重量符合a*2^b（a<=10;b<=30）

输入

输入文件中包含多组数据。每组数据的格式如下：第一行是两个正整数n和W，1≤n≤100,1≤W≤2^30，分别表示宝石的数目和最多能带走的宝石重量。接下来的n行，每行有两个正整数weighti和valuei，1≤weighti≤2^30, 0≤valuei≤2^30，分别表示第i颗宝石的重量和价值，且保证weighti能写成a*2^b(1≤a≤10,0≤b≤30)的形式。同一行的两个正整数之间用空格隔开。最后一组数据的后面有两个-1，表示文件的结束。这两个-1并不代表一组数据，你不需对这组数据输出结果。并且输入文件中数据的组数不超过20。

输出

对于输入的每组数据，输出一个整数C，表示小P最多能带走的宝石的总价值。每个结果整数C单独占一行，且保证C不会超过2^30。

样例输入

4 10
8 9
5 8
4 6
2 5
-1 -1

样例输出

14

---

题解

分层背包dp

本题显然是一个01背包问题，然而W有$2^{30}$之大，显然无法直接存储。

注意到题目中“保证weighti能写成$a*2^b$的形式”这个关键条件，因此可以由此入手。

设$f[i][j]$表示所选容量为$j*2^i$时得到的最大价值。那么在转移时仅考虑同一层（相同的$2^b$的物品）的转移，就是普通的01背包。

然后是跨层的转换，即将$f[i][j]$转换为$f[i+1][k]$。考虑到以后的位对当前位都不会有影响，因此只需要考虑多少的$2^{i+1}$能够满足$j*2^i$。显然k=$\lceil$(j-w的当前位)/2$\rceil$

最后的答案可以直接从$f[31][0]$拿到，因为第$31$位一定是0。

单组数据的时间复杂度为$O(31*n*10n)$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct data
{
	int b , c , v;
	bool operator<(const data &a)const {return b < a.b;}
}a[110];
int f[32][1010];
int main()
{
	int n , m;
	while(~scanf("%d%d" , &n , &m) && (~n || ~m))
	{
		int i , j , p = 1 , now = 0;
		memset(a , 0 , sizeof(a)) , memset(f , 0 , sizeof(f));
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		{
			scanf("%d%d" , &a[i].c , &a[i].v);
			while(!(a[i].c & 1)) a[i].c >>= 1 , a[i].b ++ ;
		}
		sort(a + 1 , a + n + 1);
		for(i = 0 ; i <= 30 ; i ++ )
		{
			while(p <= n && a[p].b == i)
			{
				now = min(now + a[p].c , m >> i);
				for(j = now ; j >= a[p].c ; j -- )
					f[i][j] = max(f[i][j] , f[i][j - a[p].c] + a[p].v);
				p ++ ;
			}
			for(j = 0 ; j <= now ; j ++ )
				f[i + 1][(j - (bool)(m & (1 << i)) + 1) >> 1] = max(f[i + 1][(j - (bool)(m & (1 << i)) + 1) >> 1] , f[i][j]);
			now = (now - (bool)(m & (1 << i)) + 1) >> 1;
		}
		printf("%d\n" , f[31][0]);
	}
	return 0;
}