【bzoj1132】[POI2008]Tro 计算几何

题目描述

平面上有N个点. 求出所有以这N个点为顶点的三角形的面积和 N<=3000

输入

第一行给出数字N,N在[3,3000] 下面N行给出N个点的坐标,其值在[0,10000]

输出

保留一位小数,误差不超过0.1

样例输入

5
0 0
1 2
0 2
1 0
1 1

样例输出

7.0

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题解

计算几何

考虑到所求的所有三角形的面积之和为$\sum\limits_{i<j<k}|(y_j-y_i)*(x_k-x_i)-(y_k-y_i)*(x_j-x_i)|$，这样直接计算的时间复杂度是$O(n^3)$的。

如果我们先枚举$i$，并计算出以$P_i$为原点的其它点的相对坐标，那么要求的就是$\sum\limits_{i<j<k}|y_j*x_k-y_k*x_j|$，注意这里有绝对值符号，为了去掉绝对值，需要满足在枚举$i$时，对于任意的$i<j<k$均有$i\to j$在$i\to k$的逆时针方向。所以我们把所有点按照$x$排序，那么$j$和$k$就都在$i$右侧，只需要再将$i$右侧的点按照与$i$连线的斜率排序即可。

去掉绝对值后即求$\sum\limits_{j=i+1}^n(y_j*\sum\limits_{k=j+1}^nx_k-\sum\limits_{k=j+1}^ny_k*x_j)$，维护两个坐标的后缀和，扫一遍即可出解。

时间复杂度$O(n^2\log n)$，瓶颈在于排序。

本题卡精（卡atan2），因此必须按照横坐标、斜率排序以避免精度问题。另外需要开long long。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 3010
using namespace std;
typedef long long ll;
struct data
{
    ll x , y;
    data(ll a = 0 , ll b = 0) {x = a , y = b;}
    data operator-(const data &a)const {return data(x - a.x , y - a.y);}
    bool operator<(const data &a)const {return y * a.x < x * a.y;}
}a[N] , t[N];
ll sx[N] , sy[N];
bool cmp(data a , data b)
{
    return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x;
} 
int main()
{
    int n , i , j;
    ll ans = 0;
    scanf("%d" , &n);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld%lld" , &a[i].x , &a[i].y);
    sort(a + 1 , a + n + 1 , cmp);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        for(j = i + 1 ; j <= n ; j ++ ) t[j] = a[j] - a[i];
        sort(t + i + 1 , t + n + 1);
        for(j = n ; j > i ; j -- )
        {
            sx[j] = sx[j + 1] + t[j].x , sy[j] = sy[j + 1] + t[j].y;
            ans += t[j].x * sy[j + 1] - t[j].y * sx[j + 1];
        }
    }
    printf("%lld.%lld\n" , ans / 2 , ans % 2 * 5);
    return 0;
}