【bzoj4972】小Q的方格纸 前缀和

题目描述

方格纸与草稿纸一样，都是算法竞赛中不可或缺的重要工具。身经百战的小Q自然也会随身带着方格纸。小Q的方格纸有n行m列，一共n*m个方格，从上到下依次标记为第1,2,...,n行，从左到右依次标记为第1,2,...,m列，方便起见，小Q称第i行第j列的方格为(i,j)。小Q在方格纸中填满了数字，每个格子中都恰好有一个整数a_{i,j}。小Q不喜欢手算，因此每当他不想计算时，他就会让你帮忙计算。小Q一共会给出q个询问，每次给定一个方格(x,y)和一个整数k(1<=k<=min(x,y))，你需要回答由(x,y),(x-k+1,y),(x,y-k+1)三个格子构成的三角形边上以及内部的所有格子的a的和。

输入

第一行包含6个正整数n,m,q,A,B,C(1<=n,m<=3000,1<=q<=3000000,1<=A,B,C<=1000000)

其中n,m表示方格纸的尺寸，q表示询问个数。

为了防止输入数据过大，a和询问将由以下代码生成：

unsigned int A,B,C;

inline unsigned int rng61(){

    A ^= A << 16;

    A ^= A >> 5;

    A ^= A << 1;

    unsigned int t = A;

    A = B;

    B = C;

    C ^= t ^ A;

    return C;

}

int main(){

    scanf("%d%d%d%u%u%u", &n, &m, &q, &A, &B, &C);

    for(i = 1; i <= n; i++)

        for(j = 1; j <= m; j++)

            a[i][j] = rng61();

    for(i = 1; i <= q; i++){

        x = rng61() % n + 1;

        y = rng61() % m + 1;

        k = rng61() % min(x, y) + 1;

    }

}

输出

为了防止输出数据过大，设f_i表示第i个询问的答案，则你需要输出一行一个整数，即：

$(\sum\limits_{i=1}^q 233^{q-i}*f_i)\ mod\ 2^{32}$

样例输入

3 4 5 2 3 7

样例输出

3350931807

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题解

前缀和

考虑答案怎么组成：

(0,0)

显然答案（红色区域）等于黑色边框（矩形）面积 - 蓝色边框（大三角形）面积 + 绿色边框（小三角形）面积。

于是维护两种前缀和：第一种维护一般的矩形区域二维前缀和，第二种维护直角边边长为x，左下角横坐标为y，纵坐标为1的等腰直角三角形的数之和。

然后乱搞就过了。为了防止n和m弄混，可以令n'=m'=max(n,m)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 3010
using namespace std;
unsigned A , B , C , a[N][N] , sum[N][N] , ste[N][N];
inline unsigned rng61()
{
    A ^= A << 16;
    A ^= A >> 5;
    A ^= A << 1;
    unsigned t = A;
    A = B;
    B = C;
    C ^= t ^ A;
    return C;
}
int main()
{
    int n , m , q , i , j , x , y , k;
    unsigned ret , ans = 0;
    scanf("%d%d%d%u%u%u" , &n , &m , &q , &A , &B , &C);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
        for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
            a[i][j] = rng61();
    for(i = 1 ; i <= max(n , m) ; i ++ )
        for(j = 1 ; j <= max(n , m) ; j ++ )
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    for(i = 1 ; i <= max(n , m) ; i ++ )
        for(j = max(n , m) ; j >= 1 ; j -- )
            ste[i][j] = ste[i - 1][j + 1] + sum[j][i] - sum[j - 1][i];
    while(q -- )
    {
        x = rng61() % n + 1;
        y = rng61() % m + 1;
        k = rng61() % min(x , y) + 1;
        ret = (sum[x][y] - sum[x - k][y]) - (ste[y - 1][x - k + 1] - ste[y > k ? y - k - 1 : 0][x + 1]);
        ans = ans * 233 + ret;
    }
    printf("%u\n" , ans);
    return 0;
}