【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间 矩阵树定理

题目描述

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

输入

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

输出

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

样例输入

3 3
...
...
.*.

样例输出

15

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题解

矩阵树定理

题目显然是求连通图的生成树数目，因此直接使用矩阵树定理即可。

矩阵树定理：连通图的生成树数目等于 |度数矩阵-邻接矩阵| 的矩阵行列式的任意一个n-1阶余子式的值，

但是本题由于模数不为质数，因此不能直接在模意义下消元，需要使用辗转相除法。具体详见代码。

跑得还是挺快的。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1000000000;
int dx[] = {1 , 0 , -1 , 0} , dy[] = {0 , 1 , 0 , -1} , pos[15][15] , tot;
ll a[110][110];
char str[15];
int main()
{
	int n , m , i , j , k , d = 0 , t;
	ll ans = 1;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		scanf("%s" , str + 1);
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			if(str[j] == '.')
				pos[i][j] = ++tot;
	}
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			if(pos[i][j])
				for(k = 0 ; k < 4 ; k ++ )
					if(pos[i + dx[k]][j + dy[k]])
						a[pos[i][j]][pos[i][j]] ++ , a[pos[i][j]][pos[i + dx[k]][j + dy[k]]] -- ;
	for(i = 1 ; i < tot ; i ++ )
	{
		for(j = i ; j < tot ; j ++ )
			if(a[j][i])
				break;
		if(j == tot) continue;
		if(j != i)
		{
			for(k = i ; k < tot ; k ++ ) swap(a[i][k] , a[j][k]);
			d ^= 1;
		}
		for(j = i + 1 ; j < tot ; j ++ )
		{
			while(a[j][i])
			{
				t = a[j][i] / a[i][i];
				for(k = i ; k < tot ; k ++ ) a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * t % mod + mod) % mod;
				if(!a[j][i]) break;
				for(k = i ; k < tot ; k ++ ) swap(a[i][k] , a[j][k]);
				d ^= 1;
			}
		}
	}
	for(i = 1 ; i < tot ; i ++ ) ans = ans * a[i][i] % mod;
	if(d) ans = (mod - ans) % mod;
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}