【bzoj2131】免费的馅饼 dp+树状数组

题目描述

输入

第一行是用空格隔开的二个正整数，分别给出了舞台的宽度W（1到10^8之间）和馅饼的个数n（1到10^5）。　　接下来n行，每一行给出了一块馅饼的信息。由三个正整数组成，分别表示了每个馅饼落到舞台上的时刻t[i]（1到10^8秒），掉到舞台上的格子的编号p[i]（1和w之间），以及分值v[i]（1到1000之间）。游戏开始时刻为0。输入文件中同一行相邻两项之间用一个空格隔开。输入数据中可能存在两个馅饼的t[i]和p[i]都一样。

输出

一个数，表示游戏者获得的最大总得分。

样例输入

3 4
1 2 3
5 2 3
6 3 4
1 1 5

样例输出

12

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题解

dp+树状数组

如果按照$t[i]$排序，即掉落顺序，那么考虑朴素的dp方程：$f[i]=max(f[j])+v[i]\ (j<i\&\&2(t[i]-t[j])\ge|p[i]-p[j]|)$。

然后把绝对值展开并移项即得转移条件：$j<i\&\&2t[i]+p[i]\ge 2t[j]+p[j]\&\&2t[i]-p[i]\ge 2t[j]-p[j]$。

可以看出这是一个三维偏序问题，不过仔细想一想其实是二维的：把后两个转移条件加起来可以得到$t[i]\ge t[j]$，即可忽略$j<i$的条件。

然后按照$2t+p$和$2t-p$的某一个排序，另一个离散化，使用树状数组维护前缀最大值即可得到答案。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
struct data
{
	int t , p , v , x;
}a[N];
int tmp[N] , dp[N] , f[N] , n;
bool cmp(data a , data b)
{
	return a.p - 2 * a.t >= b.p - 2 * b.t;
}
void update(int x , int a)
{
	int i;
	for(i = x ; i <= n ; i += i & -i) f[i] = max(f[i] , a);
}
int query(int x)
{
	int i , ans = 0;
	for(i = x ; i ; i -= i & -i) ans = max(ans , f[i]);
	return ans;
}
int main()
{
	int i , ans = 0;
	scanf("%*d%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &a[i].t , &a[i].p , &a[i].v) , tmp[i] = a[i].p + 2 * a[i].t;
	sort(tmp + 1 , tmp + n + 1);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) a[i].x = lower_bound(tmp + 1 , tmp + n + 1 , a[i].p + 2 * a[i].t) - tmp;
	sort(a + 1 , a + n + 1 , cmp);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) dp[i] = query(a[i].x) + a[i].v , update(a[i].x , dp[i]) , ans = max(ans , dp[i]);
	printf("%d\n" , ans);
	return 0;
}