【bzoj4198】[Noi2015]荷马史诗 贪心+堆

题目描述

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

输入

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

输出

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

样例输入

4 2
1
1
2
2

样例输出

12
2

---

题解

贪心+堆

感觉这题和哈夫曼树的关系并不是很大啊~

先来说我的思考方法：

题目要求任意两个串不能有前缀关系，因此它们在Trie树上不能是祖先关系。

也就是说只有Trie树上的叶子结点才可以使用。

然后每个单词的长度就是它的深度。

现在要找出一种方式，使得所有单词的出现次数*长度的和最小。

我们把长度拆成一段一段的，即对于Trie树上的每一条边考虑，它增加的是它子树中叶子结点的出现次数之和。对于一棵子树，由它的儿子到达它，需要它所有子孙节点的出现次数之和。

我们把这个想象成儿子节点的合并过程，容易发现它与合并果子极为相似。当k=2时完全就是合并果子。

那么当k>2时也是一样的，优先挑k短的合并。然而可能存在一种情况：(n-1)%(k-1)>0，使得无法完美合并，这样无法保证答案的正确性。

考虑在其中加入出现次数为0的单词，答案一定不変，所以我们可以补0，直到能整除为止。

这样每次挑出堆中权值最小的点，权值相同则挑深度最小的，把它们合并即可。

然后网上的题解：

裸的k-哈夫曼树~

感觉自己完全是被骗了 = =

#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll , int> pr;
priority_queue<pr> q;
int main()
{
	int n , k , i , d;
	ll s , ans = 0;
	scanf("%d%d" , &n , &k);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld" , &s) , q.push(pr(-s , 0));
	while((n - 1) % (k - 1)) q.push(pr(0 , 0)) , n ++ ;
	while(q.size() > 1)
	{
		s = 0 , d = 0;
		for(i = 1 ; i <= k ; i ++ )
			s += q.top().first , d = min(d , q.top().second) , q.pop();
		ans -= s , q.push(pr(s , d - 1));
	}
	printf("%lld\n%d\n" , ans , -q.top().second);
	return 0;
}