【bzoj4071】[Apio2015]巴邻旁之桥 Treap
题目描述
一条东西走向的穆西河将巴邻旁市一分为二，分割成了区域 A 和区域 B。
每一块区域沿着河岸都建了恰好 1000000001 栋的建筑，每条岸边的建筑都从 0 编号到 1000000000。相邻的每对建筑相隔 1 个单位距离，河的宽度也是 1 个单位长度。区域 A 中的 i 号建筑物恰好与区域 B 中的 i 号建筑物隔河相对。
城市中有 N 个居民。第 i 个居民的房子在区域 Pi 的 Si 号建筑上，同时他的办公室坐落在 Qi 区域的 Ti 号建筑上。一个居民的房子和办公室可能分布在河的两岸，这样他就必须要搭乘船只才能从家中去往办公室，这种情况让很多人都觉得不方便。为了使居民们可以开车去工作，政府决定建造不超过 K 座横跨河流的大桥。
由于技术上的原因，每一座桥必须刚好连接河的两岸，桥梁必须严格垂直于河流，并且桥与桥之间不能相交。当政府建造最多 K 座桥之后，设 Di 表示第 i 个居民此时开车从家里到办公室的最短距离。请帮助政府建造桥梁，使得 D1+D2+⋯+DN 最小。
输入
输入的第一行包含两个正整数 K 和 N，分别表示桥的上限数量和居民的数量。
接下来 N 行，每一行包含四个参数：Pi,Si,Qi 和 Ti，表示第 i 个居民的房子在区域 Pi 的 Si 号建筑上，且他的办公室位于 Qi 区域的 Ti 号建筑上。
输出
输出仅为一行，包含一个整数，表示 D1+D2+⋯+DN 的最小值。
样例输入
1 5
B 0 A 4
B 1 B 3
A 5 B 7
B 2 A 6
B 1 A 7
样例输出
24
题解
Treap
先把不需要过桥的距离、以及走在桥上的距离（河的宽度也是 1 个单位长度），把需要过桥的存到一个结构体中。
当k=1时，显然就是要最小化$\sum\limits_{i=1}^n(|s_i-p|+|t_i-p|)$，显然将s和t放到同一个数组里排序，取出中位数即为p。
当k=2时，考虑过桥的两种情况：s和t在桥的同侧、s和t在桥的两侧。
当两座桥都使得s和t在桥的同侧时，距离都为$|s_i+t_i-2p|$，这个值越小越好。
当某座桥使得s和t在桥的两侧时，显然要走这座桥，距离为$|s_i-t_i|$，且这座桥的$|s_i+t_i-2p|$要小于使得s和t在桥的同侧时的$|s_i+t_i-2p|$。
综上所述，路线是和$s_i+t_i$相关的。我们可以枚举一个临界点，$s_i+t_i$小于这个临界点的都走第一座桥，$s_i+t_i$大于这个临界点的都走第二座桥。
那么相当于左右两个和k=1相同的问题。这里需要使用Treap维护区间中位数和区间绝对值和。
注意k=2时也要讨论只建一座桥的情况。
时间复杂度为$O(n\log n)$。
另外我代码写丑了，Treap的话不需要写结构体就可以开多个树。这里懒得改了。
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define N 200010
using namespace std;
typedef long long ll;
struct data
{
ll px , py , ps;
}a[N];
struct treap
{
int l[N] , r[N] , cnt[N] , si[N] , rnd[N] , root , tot;
ll w[N] , sum[N];
void pushup(int k)
{
si[k] = si[l[k]] + si[r[k]] + cnt[k] , sum[k] = sum[l[k]] + sum[r[k]] + cnt[k] * w[k];
}
void zig(int &k)
{
int t = l[k];
l[k] = r[t] , r[t] = k , pushup(k) , pushup(t) , k = t;
}
void zag(int &k)
{
int t = r[k];
r[k] = l[t] , l[t] = k , pushup(k) , pushup(t) , k = t;
}
void insert(int &k , ll x)
{
if(!k)
{
k = ++tot , si[k] = cnt[k] = 1 , sum[k] = w[k] = x , rnd[k] = rand();
return;
}
si[k] ++ , sum[k] += x;
if(x == w[k]) cnt[k] ++ ;
else if(x < w[k])
{
insert(l[k] , x);
if(rnd[l[k]] < rnd[k]) zig(k);
}
else
{
insert(r[k] , x);
if(rnd[r[k]] < rnd[k]) zag(k);
}
}
void erase(int &k , ll x)
{
si[k] -- , sum[k] -= x;
if(x == w[k])
{
if(cnt[k] > 1) cnt[k] -- ;
else if(!l[k] || !r[k]) k = l[k] + r[k];
else if(rnd[l[k]] < rnd[r[k]]) zig(k) , erase(k , x);
else zag(k) , erase(k , x);
}
else if(x < w[k]) erase(l[k] , x);
else erase(r[k] , x);
}
ll find(int k , int x)
{
if(x <= si[l[k]]) return find(l[k] , x);
else if(x > si[l[k]] + cnt[k]) return find(r[k] , x - si[l[k]] - cnt[k]);
else return w[k];
}
ll query(int k , ll x)
{
if(!k) return 0;
else if(x < w[k]) return sum[r[k]] - x * si[r[k]] + cnt[k] * (w[k] - x) + query(l[k] , x);
else if(x > w[k]) return x * si[l[k]] - sum[l[k]] + cnt[k] * (x - w[k]) + query(r[k] , x);
else return x * si[l[k]] - sum[l[k]] + sum[r[k]] - x * si[r[k]];
}
}A , B;
char s1[5] , s2[5];
ll v[N];
bool cmp(data a , data b)
{
return a.ps < b.ps;
}
int main()
{
int k , n , i , num = 0;
ll x , y , ans = 0 , sum = 0 , minn = 0x7fffffffffffffffll;
scanf("%d%d" , &k , &n);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
scanf("%s%lld%s%lld" , s1 , &x , s2 , &y);
if(s1[0] == s2[0]) ans += abs(x - y);
else a[++num].px = x , a[num].py = y , a[num].ps = a[num].px + a[num].py , ans ++ ;
}
for(i = 1 ; i <= num ; i ++ ) v[i] = a[i].px , v[i + num] = a[i].py;
sort(v + 1 , v + 2 * num + 1);
for(i = 1 ; i <= 2 * num ; i ++ ) sum += abs(v[i] - v[num]);
if(k == 2)
{
sort(a + 1 , a + num + 1 , cmp);
for(i = 1 ; i <= num ; i ++ ) B.insert(B.root , a[i].px) , B.insert(B.root , a[i].py);
for(i = 1 ; i < num ; i ++ )
{
A.insert(A.root , a[i].px) , A.insert(A.root , a[i].py) , B.erase(B.root , a[i].px) , B.erase(B.root , a[i].py);
minn = min(minn , A.query(A.root , A.find(A.root , A.si[A.root] / 2)) + B.query(B.root , B.find(B.root , B.si[B.root] / 2)));
}
}
printf("%lld\n" , ans + min(sum , minn));
return 0;
}
