【bzoj2005】[Noi2010]能量采集 欧拉函数

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

输入

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

样例输入

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

样例输出

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20

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题解

欧拉函数（欧拉反演？）

(0,0)到(x,y)上的整数点个数（包括点(x,y)）为gcd(x,y)。

所以我们要求的就是2∑(gcd(i,j)-1)+nm=2∑(gcd(i,j)-nm。

然后分块求和，最后转化为答案。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int n = 100000;
int phi[n + 10] , prime[n + 10] , tot;
ll sum[n + 10];
bool np[n + 10];
ll cal(int a , int b)
{
	int i , last;
	ll ans = 0;
	for(i = 1 ; i <= a && i <= b ; i = last + 1) last = min(a / (a / i) , b / (b / i)) , ans += (ll)(sum[last] - sum[i - 1]) * (a / i) * (b / i);
	return ans;
}
int main()
{
	int i , j , a , b;
	ll ans = 0;
	phi[1] = sum[1] = 1;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(!np[i]) phi[i] = i - 1 , prime[++tot] = i;
		for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= n ; j ++ )
		{
			np[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
		sum[i] = sum[i - 1] + phi[i];
	}
	scanf("%d%d" , &a , &b);
	printf("%lld\n" , 2 * cal(a , b) - (ll)a * b);
	return 0;
}