【bzoj3884】上帝与集合的正确用法 扩展欧拉定理
题目描述
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
一句话题意:
输入
接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值
输出
T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值
样例输入
3
2
3
6
样例输出
0
1
4
题解
扩展欧拉定理
内容:
证明参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24902174
这个定理不要求a和p互质,可以直接使用。
回到题目中,设a=2,n=2^2^...,由于有无穷个2,,所以有a^n mod p = a^(a^n mod phi(p) + phi(p)) mod p。
可以发现a^n mod p和a^n mod phi(p)是一样的,所以我们可以递归求解。
边界条件:当a^n mod p为定值时结束。我们可以知道当p=1时这个式子必然等于0,可以结束。
而且这样的方法时间复杂度是O(logp)的,参考 http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/43951401
这样加上快速幂就能求解了。
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll pow(ll y , ll p) { ll x = 2 , ans = 1; while(y) { if(y & 1) ans = ans * x % p; x = x * x % p , y >>= 1; } return ans; } ll phi(ll x) { ll i , ans = x; for(i = 2 ; i * i <= x ; i ++ ) { if(x % i == 0) { ans = ans / i * (i - 1); while(x % i == 0) x /= i; } } if(x != 1) ans = ans / x * (x - 1); return ans; } ll cal(ll p) { if(p == 1) return 0; ll t = phi(p); return pow(cal(t) + t , p); } int main() { int T; ll p; scanf("%d" , &T); while(T -- ) scanf("%lld" , &p) , printf("%lld\n" , cal(p)); return 0; }