【bzoj3156】防御准备 斜率优化dp

题目描述

输入

第一行为一个整数N表示战线的总长度。

第二行N个整数，第i个整数表示在位置i放置守卫塔的花费Ai。

输出

共一个整数，表示最小的战线花费值。

样例输入

10
2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

样例输出

18

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题解

斜率优化dp

设 $f[i]$ 为第 $i$ 个建检查站时前 $i$ 个的最小代价。

那么就有：

$$\begin{align}f[i]&=f[j]+\sum\limits_{t=j+1}^i(i-t)+a[i]\\&=f[j]+i\times (i-j)-\sum\limits_{t=j+1}^it+a[i]\\&=f[j]+i\times(i-j)-(sum[i]-sum[j])+a[i]\end{align}$$

其中 $sum[i]$ 为 $1\sim i$ 的和

整理一下就是 $f[j]+sum[j]=i\times j+f[i]+sum[i]-i\times i-a[i]$ 。

这样就变为了 $y=kx+b$ 的形式。

由于这里 $b$ 中 $f[i]$ 的系数是正的，所以要求的就是 $b$ 的最大值。

维护一个下凸包即可。

需要注意的是 $q$ 和 $i$ 也要开long long，毕竟相乘的时候如果都是int就会爆，这里懒了直接全long long。

#include <cstdio>
#define y(i) (f[i] + sum[i])
long long f[1000010] , a[1000010] , sum[1000010] , q[1000010] , l , r;
int main()
{
	long long n , i;
	scanf("%lld" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		scanf("%lld" , &a[i]) , sum[i] = sum[i - 1] + i;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		while(l < r && y(q[l + 1]) - y(q[l]) < (q[l + 1] - q[l]) * i) l ++ ;
		f[i] = y(q[l]) - i * q[l] - sum[i] + i * i + a[i];
		while(l < r && (y(i) - y(q[r])) * (q[r] - q[r - 1]) < (i - q[r]) * (y(q[r]) - y(q[r - 1]))) r -- ;
		q[++r] = i;
	}
	printf("%lld\n" , f[n]);
	return 0;
}