【数学题】【Codeforces 164 Div2 E】【Playlist】

【题目来源】http://www.codeforces.com/contest/268/problem/E

 

【个人体会】总算知道这个题目的正解了。。。借助了2位大神的力量（其实事实是我根本没出脑力，只打了个程序）。。。

 

【题目大意】有N首歌，每首歌喜欢的概率为P[I]，每首歌的时间为L[I]。一共有N!种排列方式来录制这些歌曲，对于每种排列方式，这个人开始听，遇到喜欢的歌曲，会接着听下一首歌曲；遇到不喜欢的歌曲，会把在这首歌之前的所有喜欢的歌听一遍，之后再回头来接着听下一首歌曲。最后求出数学期望总时间最长的那个时间。

 

【题目分析】1.对于I和J这2个位置，倘若这个人喜欢I，并且不喜欢J，那么I这首歌将会被再听一遍。发生这件事情的概率是P[I]*(1-P[J])，这件事情将会产生L[I]*P[I]*(1-P[J])的数学期望时间加成。

　　　　　　2.假设现在只有2个人I和J，那么若L[I]*P[I]*(1-P[J]) > L[J]*P[J]*(1-P[I])，则说明I带来的数学期望时间加成会更多，那么I应当放在开头，J放在末尾。

　　　　　　3.对于人多的情况先考虑简单一点的，2个人相邻I和I+1，现在考虑是否要交换它们2个，

　　　　　　   如果I在前面那么，数学期望的加成是:

　　　　　　   (1-P[I])*(P[1]*L[1]+P[2]*L[2]+...+P[I-1]*L[I-1]) +  (1-P[I+1])*(P[1]*L[1]+P[2]*L[2]+...+P[I-1]*L[I-1]+P[I]*L[I]);

                    如果I+1在前面，那么，数学期望的加成是

                    (1-p[I+1])*(P[1]*L[1]+P[2]*L[2]+...+P[I-1]*L[I-1]) + (1-P[I])*(P[1]*L[1]+P[2]*L[2]+...+P[I-1]*L[I-1]+P[I+1]*L[I+1]);

　　　　　　　两式相减，最终取决于(1-P[I+1])*P[I]*L[I]和(1-P[I])*P[I+1]*L[I+1]的大小关系。

　　　　　　4.(1-P[I+1])*P[I]*L[I]和(1-P[I])*P[I+1]*L[I+1]  等价于  P[I]*L[I]/(1-P[I])和P[I+1]*L[I+1]/(1-P[I+1])

　　　　　　5.将P[I]*L[I]/(1-P[I])视为A[i]，即I的比较函数。对于一个序列来说，倘若它有最大的数学期望值，那么A[i]必然是严格递减的，否则经过两两交换的方法，必然能使得总期望值最大。

 

【代码如下】

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>

//#define FILE_IO
#define DEBUG

const int Maxn = 50005;
int N, A[Maxn];
double L[Maxn], P[Maxn], Sum[Maxn], Ans;

using namespace std;

bool Cmp(const int &i, const int &j)
{
    return (P[i] * L[i] * (1 - P[j] / 100)) > (P[j] * L[j] * (1 - P[i] / 100));
}

int main()
{
    #ifdef FILE_IO
    freopen("test.in", "r", stdin);
    #endif // FILE_IO
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        scanf("%lf%lf", &L[i], &P[i]);
        A[i] = i;
    }
    sort(A + 1, A + 1 + N, Cmp);
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        Sum[i] = Sum[i - 1] + L[A[i]] * P[A[i]];
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        Ans += L[i] * 10000;
    for (int i = 2; i <= N; ++i)
        Ans += (100 - P[A[i]]) * Sum[i - 1];
    cout << setprecision(12) << setiosflags(ios :: fixed) << Ans / 10000 << endl;
    return 0;
}