深度理解GCD

深度理解欧几里得算法

欧几里得算法弱者的福音！！！

作为一个从来没有真正理解$gcd$的人，我今天终于搞明白了！！！

一般来说，gcd都是递归求解的，下面解释一下原理。

结论

首先我相信大家都记得到结论吧：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)（保证$a$大于$b$）

递归出口就是：if(a==1||b==0) return a;

如果不是很明白可以先看下面。

证明

$a\mathrm{\%}b$的约数一定含有$a$和$b$的最大公约数$d$

首先，我们设$d=gcd(a,b)$，即设$d$为$a$和$b$的最大公约数。那么我们可以将原式改写为$gcd(k_a\times d,k_b\times d)$（保证$a$大于$b$，下同）。因为这时候$d$已经是最大公约数了，所以此时$k_a$和$k_b$一定是互质的。接下来我们将$gcd(b,a\mathrm{\%}b)$中$a\mathrm{\%}b$转换一下，变为$(k_a\times d)\mathrm{\%}(k_b\times d)$。

我们再把取余换做减法$(k_a\times d)-t_{max}\times (k_b\times d)$，这里的$t_{max}$表示最大的$t$使得$t\times (k_b\times d)$小于等于$(k_a\times d)$成立。化简一下就会变成$(k_a-t_{max}\times k_b)\times d$。很明显，$a\mathrm{\%}b$也含有$a$和$b$的最大公约数$d$。并且$a\mathrm{\%}b<b\le a$，这样就缩小了范围。

公式$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$

接下来，我一直有一个疑惑，为什么公式是$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$，而不是$gcd(a,b)=gcd(a,a\mathrm{\%}b)$？

首先我们将$a\mathrm{\%}b=(k_a-t_{max}\times k_b)\times d$中的$(k_a-t_{max}\times k_b)$替换为$k_r$，那么$a\mathrm{\%}b=k_r\times d$，方便理解。

那么公式变为$gcd(k_a\times d,k_b\times d)=gcd(k_b\times d,k_r\times d)$。如果说$k_b$不和$k_r$互质，那么就不能成立了，因为此前我们已经设$d$为最大公约数了，那么如果不互质，那么$d$显然有更大的值。那究竟$k_b$与$k_r$互质吗？

$k_b$与$k_r$互质

反证法。首先我们有式子$k_r=k_a-t_{max}\times k_b$，设$k_r$不与$k_b$互质，那么设他们的公因数为$p$。

将原式转化为$x\times p=k_a-t_{max}\times y\times p$，移项得到$(x+t_{max}\times y)\times p=k_a$，观察式子发现此时$k_a$包含因子$p$，然而我们上面假设的$k_b$也含有因子$p$，这样$k_a$和$k_b$就不互质了，很明显违背了最开始的设定，故$k_r$与$k_b$不互质的假设不成立。

$k_a$与$k_r$不一定互质

此时我们反过来看$gcd(a,b)=gcd(a,a\mathrm{\%}b)$，同样把他转换一下变为$gcd(k_a\times d,k_b\times d)=gcd(k_a\times d,k_r\times d)$。我们可以很容易够造出一组反例（还是保证$a$大于$b$）。

如$k_a=5\times 7$，$k_b=2\times 3$，带入原式得到$gcd(5\times 7\times d,2\times 3\times d)=gcd(5\times 7\times d,5\times d)$，这很明显$k_a$不与$k_r$互质。

模拟过程

就拿上面的例子来解释一下。

$$\begin{array}{c}gcd(2\times 3\times d,5\times 7\times d)=gcd(5\times 7\times d,2\times 3\times d)\\ gcd(5\times 7\times d,2\times 3\times d)=gcd(2\times 3\times d,5\times d)\\ gcd(2\times 3\times d,5\times d)=gcd(5\times d,d)\\ gcd(5\times d,d)=gcd(d,0)\\ returnd;\end{array}$$

第一步是保证$a$大于$b$，接下来一直取余，直到$b$为$0$，然后$return$。