[NOIP2013 普及组] 小朋友的数字

题目描述

有 $n$个小朋友排成一列。每个小朋友手上都有一个数字，这个数字可正可负。规定每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。

作为这些小朋友的老师，你需要给每个小朋友一个分数，分数是这样规定的：第一个小朋友的分数是他的特征值，其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。

请计算所有小朋友分数的最大值，输出时保持最大值的符号，将其绝对值对 $p$ 取模后输出。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,p$，之间用一个空格隔开。

第二行包含 $n$ 个数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每个小朋友手上的数字。

输出格式

一个整数，表示最大分数对 $p$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 997
1 2 3 4 5 

样例输出 #1

21 

样例 #2

样例输入 #2

5 7
-1 -1 -1 -1 -1

样例输出 #2

-1 

提示

【样例解释 #1】

小朋友的特征值分别为 $1,3,6,10,15$，分数分别为 $1,2,5,11,21$，最大值 $21$ 对 $997$ 的模是
$21$。

【样例解释 #2】

小朋友的特征值分别为 $-1,-1,-1,-1,-1$，分数分别为$-1,-2,-2,-2,-2$，最大值 $-1$ 对 $7$ 的模为
$-1$，输出 $-1$。

【数据范围】

对于 $50\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 1000$，$1\le p\le 1000$，所有数字的绝对值不超过
$1000$；

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le {10}^6$，$1\le p\le {10}^9$，其他数字的绝对值均不超过
${10}^9$。

一道绿题，可是我考试只拿了10分……

思路

读题可知，每个小朋友的特征值就是这位小朋友之前已经求出的特征值中的最大子段和，那就是套板子的事了……

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,f[200010],ans=-100000;//f[i]表示以i为子段最后一位的最大子段和
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&x);
    f[1]=x;//第一位初始化
    for(int i=2;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
		f[i]=max(x,f[i-1]+x);//单独取这一位或连上上一个子段
        ans=max(ans,f[i]);//统计最大的子段和
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

接下来统计分数，并且同时统计分数的最大值

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int __int128
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){
		if(c=='-'){
			f=-1;
		}
		c=getchar();
	}
	while(c<='9'&&c>='0'){
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int n,p,f[1000006],ca,te[1000006],score[1000006],ans;
signed main(){
//	freopen("number.in","r",stdin);
//	freopen("number.out","w",stdout);
	n=read();
	p=read();
	ca=read();
	te[1]=f[1]=ca;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		ca=read();
		f[i]=max(ca,f[i-1]+ca);
	}
	int maxx=f[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		te[i]=max(f[i],maxx);
		if(f[i]>maxx){
			maxx=f[i];
		}
	}
	score[1]=te[1];
	int temp=score[1]+te[1];
	ans=score[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		score[i]=temp;
		temp=max(temp,score[i]+te[i]);
		ans=max(ans,score[i]);
	}
	write(ans%p);
	return 0;
}

实际的核心代码很短，非常水

关于这道题的考点

这题其实有两个考点，第一个就是最大子段和（这个写过就还好想到）
看代码，本题用到了__$int128$，因为最后的几个数据点有亿点点大，当然这玩意在老一点的评测机上会炸掉，那么就需要用高精度或者是另外一个办法（我觉得这才是真正的考点）
另外一个办法：
对于一个很大的数$x$，我们对他进行处理，得到两个数，分别是$x/p$和$x\mathrm{\%}p$（$p$是模数）这样就可以用两个数来表示很大的数了，当然对于较小的模数$p$，我们需要对$p$进行扩倍，否则还是会有重复的（大约要将模数扩倍至${10}^6$，就是数据范围的上界）
这个有点难写，我就只提供一个思路了⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄（高精度就更难写了）