关于KMP
KMP算法，对于求b串在a串中出现的次数。
在学习KMP之前，希望大家充分掌握hash。
HASH：
1.hash表：用来离散化（hash数组，hash链表）
2.Rabin-Kap算法：
可替代KMP(O(n)),Manacher(O(n))等；
hs[t]=hs[t-1]*p+s[t]；
hash(x,y)=hs[y]-hs[x-1]*p^(y-x+1)；
哈希是字符串题目的基础（个人觉得）
一般情况下，hash是可以替代KMP的。
但我们为什么还要学KMP呢？
众所周知，hash会产生hash冲突。于是kmp就上场了。
我们由一道题来引入正题：
很明显，次数为3（abababa）
有三种方法：
一、暴力
枚举左端或右端点，另一个端点根据S2确定，线性扫一遍当前区间，检查是否匹配。
If(匹配) ans++;
时间复杂度： O(n^2) 在此不再赘述。
二、哈希
在暴力的基础上，扫描区间检查的时候是O(1)的。
总时间复杂度： O(n)
三、 KMP算法
而KMP算法也可以在O(n)的时间内求出答案。
暴力匹配：
每次从A字符串的第i位，B字符串的第1位开始逐一比较，相等则继续下一位比较，如果能一直比较到B字符串的末尾，则找到了一次匹配
最坏情况：
A=aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
B=aaaaaaaab
设A的长度为N，B的长度为M
时间复杂度为O(MN)
KMP算法
f[i]:最大的k，使得A(1..i)的子串的后k位等于B的前k位
i = 7
A = abababaababacb
B = ababacb
f[i] = 5
B在A中出现的次数 等于 满足f[i]=(B的长度)的i的个数
转化为快速求f[i]数组
关于转化：
关于代码实现：
辅助数组next：
代码：
#include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int N=1e6+5; char s1[N],s2[N]; int cas,l1,l2,fail[N]; void get_next(){ int p=0;fail[1]=0; for(int i=2;i<=l2;i++){ while(p>0&&s2[i]!=s2[p+1]) p=fail[p]; if(s2[i]==s2[p+1]) p++; fail[i]=p; } } void kmp(){ int p=0,ans=0; for(int i=1;i<=l1;i++){ while(p>0&&s1[i]!=s2[p+1]) p=fail[p]; if(s1[i]==s2[p+1]) p++; if(p==l2) ans++,p=fail[p]; } printf("%d\n",ans); } int main(){ for(scanf("%d",&cas);cas--;){ scanf("%s%s",s2+1,s1+1); l1=strlen(s1+1);l2=strlen(s2+1); get_next(); kmp(); } return 0; }
关于KMP的应用：
应用1.
给定一个字符串A，求最短的字符串B，使得A是若干个B连接成的字符串的前缀 。
若A=abcabcab
则B=abc
解法：
求出A串在KMP算法中A的next数组
设A的长度为N
则答案为A的前N-next[N]位
显然[nxet[N]+1,N]是循环节
为什么呢？
我们可以分两种情况讨论：
1.next[N]>N/2
2.nextN]<=N/2
应用2.
给定一个字符串A，求最短的字符串B，使得A是若干个B连接成的字符串的子串
若A=bcabcabc
则B=abc
解法：
其实和上一题一毛一样
A=bcabcabc
若B是一个循环节，则把B循环节移位一下仍是循环节。
abc->bca
应用3：
给出字符串A和B，求在A中最多能选出多少个互不重叠的B串
A=abababab
B=aba
最多选出两个：abababab
解法：
每次贪心地选出最靠左的一个B串即可
KMP匹配时记下上次完全匹配的位置，遇到完全匹配时判断是否和上次的位置重叠即可
应用4：
给定一个字符串A
对于A的每个前缀A（1...i），求最长的字符串Bi，使得len(Bi)<i,且A是若干个Bi连接成的字符串的前缀
求每个Bi，len（A）<=10^6
解法：
将每个Bi称作循环节，最长的循环节不一定是最短循环节重复若干遍
aabbaa
最短： aabb
最长： aabba
求next数组
对于每个前缀A(1…i)， A(1…i-next[i])， A(1…inext[next[i]])……都是它的循环节
沿着next指针往前跳，直到跳到0之前
对每个i直接跳： O(N2)
递推：记min[i]表示从i开始沿next往前跳最小能跳到多少
时间复杂度：O(N)
应用5：
在N*M字符矩阵中找出一个最小子矩阵，使其多次复制所得的矩阵包含原矩阵。 N<=10000,M<=75
解法：
先找出最大的K，使得原矩阵是若干个K*M的矩阵拼成一列后的子矩阵
把一行看做一个整体，对列做KMP
用应用1的方法确定最小行宽
再在K*M的矩阵中，把一列看做一个整体，用同样的方法求最小行宽
时间复杂度：O(N*M)
应用6：
字符集中有一些字符（最多26个）， 给出每个字符的出现概率（它们的和保证为1）
再给出一个子串B，长为M
求：任给一个长度为N的字符串A（只能包含字符集中的字符），使得S是A的子串的概率。
N<=100
解法：
动态规划
想象一边随机生成字符串A，一边用KMP匹配字符串B的过程
f[i][j]表示随机生成到第i位，此时B串匹配到第j位的概率
枚举下一位生成字符c，设其生成概率为gc
假设下一位填c，计算出KMP匹配指针j应该移动到j‘
f[i+1][j’] += f[i][j]*gc
已经匹配到第m位的状态不再进行转移
ans = ∑f[i][m]
应用7：
给定一个数字串A，不含前导0，长为m。 m<=9
求第P小的包含子串A的数字
P<=109
解法：
答案最多18位
二分答案X，转为判断小于等于X的包含子串A的数字有多少个
F[i][j][k][l]表示，填完前i位， KMP指针指向A的第j位，之前是否出现过子串A的状态为k（0/1），下一位能否任意填数的状态为l（0/1），的方案数
答案为∑f[18][j][1][l]
应用8：
有一枚硬币，抛到正面的概率是a/b，反面概率是1-a/b
不停地抛硬币，将得到的结果用01序列记录下来， 0表示反面， 1表示正面
给定01序列A，长为n，求期望抛几次可以在结果序列中找到子串A
n<=1000， 0<=a,b<=100
答案用最简分数形式输出
解法：
想象一边随机生成序列一边在A串上移动KMP匹配指针的过程
f[i]表示当指针在A的第i位时， 期望抛几次可以抛出A串
设： i0为下一位抛出0时指针对应的位置， i1为下一位抛出1时指针对应的位置
f[n] = 0
f[i] = 1+p*f[i1]+(1-p)*f[i0] （i<n）
解方程组
太麻烦（而且要求答案保留分数形式）
注意到， i0、 i1中必有一个等于i+1，另一个小于I
当i0=i+1时：f[i] = 1+(a/b)*f[i1]+(1-a/b)*f[i0]
当i1=i+1时：
f[i+1] = (b/a)*(f[i]-1-(1-a/b)*f[i0])
递推即可
一世安宁
