关于博弈论

很喜欢博弈论的题！才不是因为它代码短

那么我们接下来就来看一下博弈论及其算法实现

大家在日常生活中应该都接触过五子棋，它其实也有先手有必赢策略的游戏，有人也会说我就算先手我也会输啊~

所以，博弈论问题都有一个前提，那就是参与者都够聪明（没有歧义昂）

一.巴什博弈（bash game）

有一堆物品，包含n个，两个人轮流从中取出一个，最后不能取到的人输。

考虑到 若n=m+1 那么 第一个人不论如何取都不能取胜。

进一步我们发现 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 个，那么后者再拿（1~m）个 n=（k-1）*（m+1）+s；

先取者再拿走s 个 最后总能造成 剩下n=m+1 的局面。

因此，此时先手有必赢策略。

相对应的，若n=k*(m+1) 那么先取者必输。

因此我们可以写出对应的程序（默认 n m都大于0）

有N堆时也一样，只不过是加起来再判断而已。

二.尼姆博弈（Nimm Game）

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种 局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致 （0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。

必败局面：也叫奇异局势。无论做出何出操作，最终结果都是输的局面。必败局面经过2次操作后，可以达到另一个必败局面。 
必胜局面：经过1次操作后可以达到必败局面。 
即当前局面不是必败局面就是必胜局面，而必胜局面可以一步转变成必败局面。 
最终状态： 
（1）最后剩下一堆石子；（必胜局面） 
（2）剩下两堆，每堆一个；（必败局面） 
（3）当石子剩下两堆，其中一堆只剩下1颗，另一堆剩下多于n颗石子时，当前取的人只需将多于1颗的那一堆取出n-1颗，则局面变为刚才提到的必败局面。（必胜局面）

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。

方法一：

任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

注意到异或运算的交换律和结合律，及a（+）a=0，:

a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。

所以从一个非奇异局势向一个奇异局势转换的方式可以是：

1）使 a = c（+）b

2）使 b = a（+）c

3）使 c = a（+）b

方法二：

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。
判断当前局势是否为必胜（必败）局势：

三.威佐夫博奕（Wythoff Game）

提到这个问题，我们首先要说到有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

这个问题其实是可以用巴什博弈来看的，但是我们要用的是威佐夫博奕。

威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：

1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。

2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数）

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。