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摘要： 定义 莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 的定义： \[\mu(n)=\begin{cases} 1,\ n=1\\ (-1)^r,\ n=p_1p_2...p_r(p_i为互不相同的质数)\\ 0,\ 其他 \end{cases}\]性质 设 \(F(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\): 阅读全文

摘要： 定义 欧拉函数的形式化定义： \[\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1] \]表示 不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数。 性质 \(n=\sum_{d|n}\phi(d)\) 证明：设有 \(n\) 个分数 \(\frac{1}{n},\frac{2} 阅读全文

摘要： 介绍 平衡树是一种特殊的二叉树搜树，他能在被修改后，依靠分裂，合并，等操作使得树能始终保持平衡（每一个节点的两棵子树的大小尽量相等），这里主要讲解 FHQtreap。 操作 FHQtreap 也叫无旋 treap，他的每个节点有两个值 \(val,pri\)， 其中 \(pri\) 满足二叉堆的性质 阅读全文

摘要： 【学习笔记】拉格朗日插值 介绍 拉格朗日插值是用来求高次多项式的一种方法。我们知道假设已经给定了 \(n\) 个点，那么一定会有一个唯一确定的 \(n-1\) 次的多项式，拉格朗日插值就是用来求这样的多项式的。 实现 给出拉格朗日插值的式子，假设已经给定了 \(n\) 个点，分别为 \(x_i,y_ 阅读全文

摘要： 笛卡尔树 介绍 笛卡尔树是一种二叉树，每一个节点由一个键值二元组 \((k,w)\) 构成，其中 \(k\) 满足二叉搜索树的性质，而 \(w\) 满足小顶堆的性质 性质 1.两个维度的键值分别满足 BST 和小顶堆的性质 2.题目中往往用数组下表当作 \(k\) 因此笛卡尔树每一个节点子树的下标都 阅读全文

摘要： 【学习笔记】分块 算法简介 分块是一种优雅的暴力，他的实现原理是将一段区间分割成一些长度相等的整块和一些散块进行暴力，有点类似线段树。 每一次操作时将区间分成中间的一些整块，和两端的一些散块。举一个例子，假设我们要对区间\([2,10]\)进行操作，假设整块的块长为\(3\)，那么整个大区间就可以分 阅读全文

摘要： 【刷题笔记】[BalticOI 2024] Portal \(Solution\) 先注意到，题目中的图形是许多的自相似图形，要求能满足要求的单位图形的最大面积 先考虑只有一维的情况， 设几个传送门的坐标为 \((a_i,0)\) ``` 发现将整个图形平移后答案不会改变，所以不妨把一个传送门移动到 阅读全文

摘要： 【刷题笔记】Round Subset 思路 考虑最朴素的可行性\(DP\)，设 \(f_{i,j,x,y}\) 表示前 \(i\) 个数，选了 \(j\) 个数，其中有 \(x\) 个 \(5\) \(y\) 个 \(2\) 时是否合法，但是枚举时间复杂度为 \(O(n*k*n*log_5^{10^ 阅读全文

摘要： Candies 思路 朴素的算法 设\(f_{i,j}\)表示给前\(i\)个小朋友分\(j\)个糖的方案数， \[f_{i,j}=\sum_{k=0}^{min(a[i],j)}f_{i-1,j-k} \]注意到此时时间复杂度为\(O(n\times k^2)\) 想到用前缀和进行优化，设\(s_ 阅读全文

摘要： 【刷题笔记】Unbranched 题意 求\(N\)个点，\(M\)条边且满足以下条件的图的数量： 1.图中无自环； 2.每个点度数最多为2； 3.连通块大小的最大值恰好为L。 答案对 \(10^9+7\) 取模。 \(1\le M,L \le N，2\le N \le300\) 思路 注意构造出来 阅读全文