【学习笔记】莫比乌斯函数和莫比乌斯反演

定义

莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 的定义：

\[\mu(n)=\begin{cases} 1,\ n=1\\ (-1)^r,\ n=p_1p_2...p_r(p_i为互不相同的质数)\\ 0,\ 其他 \end{cases}\]

性质

• 设 \(F(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\):

\[F(n)=\begin{cases} 1,\ n=1\\ 0,\ 其他 \end{cases}\]

证明：\(n=1\) 显然。
\(n > 1\)，设 \(n=p^k(p为质数)\)，\(F(n)=1-1+0+0...+0=0\)，设 \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)，必然存在 \(a_i>0\)，得证。

应用

\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\frac{n}{d}\frac{m}{d}（共\frac{n}{d}\frac{m}{d}种情况gcd是d的倍数）\)