【test】2024.10.8

次大值

思路

发现性质，对于一个数

$$a[i]\%a[j]\le a[i]$$

当他取得最大值时$a[i]<a[j]$
于是对于前&n-1&大的数，他的贡献值就是他本身，所以我们只需要保存第$n-1$,$n-2$大的数就可以。
但是此时要注意第$n$大的数的贡献值没有计算，由于$a[n]\%a[n-2]<a[n-2]$,所以如果他要对答案有贡献,当且仅当

$$a[n]\%a[n-1]>a[n-2]$$

因此我们只需要保存前$3$大的数即可。
注意，如果去重后只有$2$个数，那么答案就是$a[2]\%a[1]$。如果只有$1$个数，那么输出$-1$。

$code$

我还没写正解。QAQ

倒水

思路

如果一堆瓶子最后可以合为一个，那么这堆瓶子的个数就一定是$2^i$。
根据谈心原则如果想让当前瓶子数减少$1$，那么只需要加上瓶子数的$lowbit$。即

$$x\&(-x)$$

注意，每次操作完后总瓶子数不一定减1。

$code$

code

Count Interval

思路

我们设$s[i]$表示右端点为$i$的前缀和，于是满足条件的区间$[l,r]$，$s[r]-s[l-1]=k$
移项就可以得到

$$s[r]=s[l-1]+k$$

得到正解。我们从$1$到$n$遍历序列，遍历同时，开一个桶，记录$s[i]+k$的个数。
注意，要开$map$

$code$

我也没写，QWQ

飞行路线

$solution 1$

就是分层图的板子，时间复杂度$O(k*nlog_2(k*n))$

$solution 2$

利用$DP$思想，设$f[i][j]$表示到第$i$个点，已经使用$j$此免费机会时的最小花费。
则

$$f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j]+w,f[k][j-1])$$

利用这个转移方程，再跑一遍$dijkstra$
！！！注意 1.$vis$数组要开二位，即把每一个$pair(i,j)$看成一个独立的点
2.跑$spfa$会被卡

$code$

code

262144 P

思路

一道非常好的$DP$题目，暴力就是区间DP，设$f[i][j]$表示区间$i,j$中所能合成的最大数的值。
但是由于$i,j$都很大，所以状态错误，此时联想到一道$ATcoder$的$DP$题目，考虑是否能互换状态，然后这道题就做完了。
设$f[i][j]$，表示左端点为$i$，合成出$j$的区间右端点。由于$j\le 40*+log_2n$所以状态正确。
当左端点确定，且合成出数确定后，由于序列是给定的，右端点显然也是确定的。利用倍增思想

$$f[i][j]=f[f[i][j-1]+1][j-1]$$

最后的答案就是$f$值不为0的最大$j$。
注意，决策时要保证$f[i][j-1]$不为0，因为如果为0就表示一个$i-1$无法合成

$code$

code

Yet Another Monster Killing Problem

思路

考虑贪心，对于每一个$i$，都想让它扩展出去最远，由于当前决策不会影响以后和以前的决策，所以贪心具有正确性。
对于一个区间，他是否能在一天内被打完，取决于，是否有一个英雄，他的耐力值大于等于该区间，且他的战斗力大于等于区间怪物战力最大值。
对于耐力值相同的英雄，显然我们要保留战力最大的那一个。
此时我们可以设两个桶$f[i],s[i]$，分别表示耐力值为$i$的实力最大值，和耐力值大于等于$i$的最大实力。
其中

$$s[i]=max(s[i+1],f[i])$$

由于$s[i]$随$i$减小而增加，区间最大值随区间长度增加而增加，都满足单调性，所以可以写一个类似双指针的东西

$code$

我写的代码丢了，至今未调出来，QWQ

青蛙过河

思路

这题显然可以二分跳跃能力，那么问题是如何写$check()$
先看性质，如何由任何一个长度为$d$（跳跃能力）的区间中$h[i]$的和小于$2*x$,那么就不合法。
先证明必要性
对于一个区间和小于$2*x$,那么一定会出现一种情况，使青蛙在区间左端点时无法跨越这一个区间。
再证明充分性
既然每一个区间都满足，那么青蛙一定可以在任意时刻的任一点，找到一个落地点。

$code$

code

Zuma

思路

有一个很重要的性质，对于每一个区间，他一定可以被分为若干个回文串（单个字符也算是回味串）。
这题一眼区间$DP$,设$f[i][j]$表示合并完$[i,j]$所用的最小时间。

$$f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j])$$

注意，$k<j$
特殊的如果$a[i]=a[j]$，那么之间的字符串，由性质可以得到，一定可以被合并位一个回文串，此时合并不需要额外花费

$$f[i][j]=min(f[i+1][j-1],f[i][j])$$

注意需要特判如果$i-j+1=2$,那么中间为空，此时$f[i][j]=1$

$code$

代码丢了，崩