【学习笔记】区间DP

区间DP

定义

区间$DP$求解时，往往与区间的合并有很大关系，通常是由小区间合并为大区间。
转移方程

$$f[i][j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+cost)$$

其中$i,j$为区间的左右端点，$k$位断点。

求解

区间$DP$在求解时，通常是由小区间合并位大区间。
一般前两层循环枚举的是区间的左右端点，第三层循环枚举的是断点。
特殊的如果可以直接确定断点的位置，则只需要写两层循环即可

例题

石子合并 能量项链

这两道题目十分类似。
转移方程都为

$$f[i][j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+cost)$$

对于第一题$f[i][j]$表示合并$i$到$j$堆的最大得分， $f[i][k]+f[k+1][j]$表示将$i$到$k$堆和$k+1$到$j$堆合并
对于第二题$f[i][j]$表示聚合$i$到$j$颗珠子的最大能量， $f[i][k]+f[k+1][j]$表示将$i$到$k$颗珠子和$k+1$到$j$颗珠子聚合
那么来看$cost$该如何计算
对于第一题，设$s[i]$表示前$i$个的石子数总和和 ，则

$$cost=s[j]-s[i-1]$$

对于第二题，设$a[i]$表示第$i$个珠子的头标记，则

$$cost=a[i]*a[k+1]*a[j+1]$$

注意到这两题都存在环，所以我们可以把数组开两倍，存两遍