【刷题笔记】数学期望DP

绿豆蛙的归宿

如果正着求 , 需要记录从起点到当前点的概率 ，这个概率是会传递的。所以考虑倒着求 ，则

\[f[x]=(val(x,y)+f[y])/k \]

爬树的甲壳虫

期望DP，多倒序求解。 这一题如果正着求会掉到0所以考虑倒序。

\[f[n]=0\\ f[i]=1+p[i+1]∗f[0]+(1−p[i+1])∗f[i+1]\]

共得到从0到\(n\)，\(n+1\)个方程和未知数，可以求解。
将上述式子一波带入和化简后得到

\[f[0]=1+(1−p[1])+(1−p[1])∗(1−p[2])+...\\ +(1−p[1])∗(1−p[2])∗...∗(1−p[n−1])\\+f[0]∗(p[1]+(1−p[1])∗p[2]+...+(1−p[1])∗(1−p[2])∗...∗(1−p[n−1])∗p[n])\]

记为

\[f[0]=A+B∗f[0] \]

故

\[f[0]\%p=\frac{A}{1-B}\%p \]

由费马小定理得

\[f[0]=A∗(1-B)^{p-2}\%p \]

ボール

当前状态为\(s\) ，往\(i\)的位置砸

如果砸向左边

\[a=s \& \sim (1<<(i+1)) \]

如果砸向中间

\[b=s \& \sim (1<<i) \]

如果砸向右边

\[c=s \& \sim (1<<(i-1)) \]

动态规划方程

\[f[s]=1+f[a]/3+f[b]/3+f[c]/3 \]

可以使用记忆化搜索实现

WJMZBMR打osu! / Easy

我们设\(f[i]\)表示到第\(i\)个的数学期望，\(len\)表示当前连续0的个数。当前有3个状态。
如果为\(o\)

\[f[i]=f[i-1]+(len+1)^2-len^2=f[i-1]+2*len+1\\ len=len+1\]

如果为\(x\)

\[f[i]=f[i-1]\\ len=0\]

如果为\(?\)

\[f[i]=\frac{1}{2}*(f[i-1]+2*len+1+f[i-1])=f[i-1]+len+0.5\\ len=\frac{1}{2}*(len+1+0)=\frac{1}{2}*(len+1)\]

对于?情况的证明：有\(\frac{1}{2}\)的概率是\(o\)，也有\(\frac{1}{2}\)的概率是\(x\)，所以\(f\)有\(\frac{1}{2}\)的概率长度加1，也有\(\frac{1}{2}\)的概率长度不变；\(len\)有\(\frac{1}{2}\)的概率长度加1，也有\(\frac{1}{2}\)的概率长度不变，注意\(len\)和\(f\)都记录的数学期望。