【刷题笔记】数学期望DP

绿豆蛙的归宿

如果正着求 , 需要记录从起点到当前点的概率 ，这个概率是会传递的。所以考虑倒着求 ，则

$$f[x]=(val(x,y)+f[y])/k$$

爬树的甲壳虫

期望DP，多倒序求解。 这一题如果正着求会掉到0所以考虑倒序。

$$f[n]=0\\ f[i]=1+p[i+1]∗f[0]+(1−p[i+1])∗f[i+1]$$

共得到从0到$n$，$n+1$个方程和未知数，可以求解。
将上述式子一波带入和化简后得到

$$f[0]=1+(1−p[1])+(1−p[1])∗(1−p[2])+...\\ +(1−p[1])∗(1−p[2])∗...∗(1−p[n−1])\\+f[0]∗(p[1]+(1−p[1])∗p[2]+...+(1−p[1])∗(1−p[2])∗...∗(1−p[n−1])∗p[n])$$

记为

$$f[0]=A+B∗f[0]$$

故

$$f[0]\%p=\frac{A}{1-B}\%p$$

由费马小定理得

$$f[0]=A∗(1-B)^{p-2}\%p$$

ボール

当前状态为$s$ ，往$i$的位置砸

如果砸向左边

$$a=s \& \sim (1<<(i+1))$$

如果砸向中间

$$b=s \& \sim (1<<i)$$

如果砸向右边

$$c=s \& \sim (1<<(i-1))$$

动态规划方程

$$f[s]=1+f[a]/3+f[b]/3+f[c]/3$$

可以使用记忆化搜索实现

WJMZBMR打osu! / Easy

我们设$f[i]$表示到第$i$个的数学期望，$len$表示当前连续0的个数。当前有3个状态。
如果为$o$

$$f[i]=f[i-1]+(len+1)^2-len^2=f[i-1]+2*len+1\\ len=len+1$$

如果为$x$

$$f[i]=f[i-1]\\ len=0$$

如果为$?$

$$f[i]=\frac{1}{2}*(f[i-1]+2*len+1+f[i-1])=f[i-1]+len+0.5\\ len=\frac{1}{2}*(len+1+0)=\frac{1}{2}*(len+1)$$

对于?情况的证明：有$\frac{1}{2}$的概率是$o$，也有$\frac{1}{2}$的概率是$x$，所以$f$有$\frac{1}{2}$的概率长度加1，也有$\frac{1}{2}$的概率长度不变；$len$有$\frac{1}{2}$的概率长度加1，也有$\frac{1}{2}$的概率长度不变，注意$len$和$f$都记录的数学期望。