【学习笔记】扩展欧几里得
扩展欧几里得算法(exgcd)
简介
扩展欧几里得算法基于辗转相除法构建，主要用于求方程
\[ax+by=c
\]
最小正整数解
步骤
1.求方程\(ax+by=gcd(a,b)\)的解
我们构造两个方程
\[\begin{cases}
ax+by=gcd(a,b)\\
bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)
\end{cases}\]
因为由欧几里得算法易于得到
\[gcd(a,b)=gcd(b,a \%b)
\]
所以
\[ax+by=bx'+(a\%b)y'
\]
由此递推易得方程
\[ax+0y=1
\]
此时方程解为
\[x=\frac{1}{a}
\]
对于\(a\%b\)我们可以表示为
\[a\%b=a-b*\lfloor \frac{a}{b} \rfloor
\]
将此式带入原方程即可得
\[ax+by=bx'+ay'-b*\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'
\]
整理可得
\[ax+by=ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y')
\]
因为\(a=a,b=b\)
所以
\[\begin{cases}
x=y'\\
y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y'
\end{cases}\]
在写代码时可以用递归实现，先往下递归直到\(a\%b=0\)得到方程的一个解，然后返回利用x，y和x'，y'的关系得到原方程的解
2.求方程\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小整数解
因为有方程\(ax+by=gcd(a,b)\)，所以
\[a(x+b/a)+b(y-a/b)=gcd(a,b)
\]
显然\(x+b/a,y-a/b\)也为方程的一组解
此时，我们把
\[b/a,a/b
\]
分别称为x，y的一个周期，一般用字母\(T\)表示
在步骤1里我们已经得到了方程的一个解\(x,y\)
因为
\[\begin{cases}
x'=x+k*T1\\
y'=y+k*T2
\end{cases}\]
也为方程的一组解，所以
\[\begin{cases}
x'=x\%T1\\
y'=y\%T2
\end{cases}\]
因为无法保证\(x,y\)同时都为正整数
所以对于\(x\)的最小正整数解为
\[x'=(x\%T1+T1)\%T1
\]
3.求普遍方程\(ax+by=c\)的最小正整数解
我们已经得到了普遍方城\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小正整数解
我们设
\[p=c/gcd(a,b)
\]
那么有
\[a*px+b*py=p*gcd(a,b)
\]
对比系数易于得到，\(ax+by=c\)的对于\(x\)的最小正整数解为
\[\begin{cases}
x'=px\\
y'=py
\end{cases}\]
显然如果\(c\%gcd(a,b)!=0\)那么方程无最小正整数解
求逆元
对于求有理数的模运算
\[(\frac{a}{b})\%p
\]
我们可以将其转化为
\[a\%p*(\frac{1}{b}\%p)
\]
而\(\frac{1}{b}\%p\)就可以转化为求方程
\[ax\equiv1(\%p)
\]
的解
因为\(1\%p=1\)，所以\(x\)就可以看做方程
\[ax+py=1
\]
最小正整数解，其中\(x\)被称为a的逆元
特别的如果\(p\)是一个质数，那么根据费马小定律
\[a^{p-1}\equiv1(\%p)\\
a*a^{p-2}\equiv1(\%p)\]
所以
\[x=a^{p-2}
\]
