【学习笔记】扩展欧几里得

扩展欧几里得算法(exgcd)

简介

扩展欧几里得算法基于辗转相除法构建，主要用于求方程

$$ax+by=c$$

最小正整数解

步骤

1.求方程$ax+by=gcd(a,b)$的解

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我们构造两个方程

$$\begin{cases} ax+by=gcd(a,b)\\ bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b) \end{cases}$$

因为由欧几里得算法易于得到

$$gcd(a,b)=gcd(b,a \%b)$$

所以

$$ax+by=bx'+(a\%b)y'$$

由此递推易得方程

$$ax+0y=1$$

此时方程解为

$$x=\frac{1}{a}$$

对于$a\%b$我们可以表示为

$$a\%b=a-b*\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$$

将此式带入原方程即可得

$$ax+by=bx'+ay'-b*\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'$$

整理可得

$$ax+by=ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y')$$

因为$a=a,b=b$
所以

$$\begin{cases} x=y'\\ y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y' \end{cases}$$

在写代码时可以用递归实现，先往下递归直到$a\%b=0$得到方程的一个解，然后返回利用x，y和x'，y'的关系得到原方程的解

2.求方程$ax+by=gcd(a,b)$的最小整数解

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因为有方程$ax+by=gcd(a,b)$，所以

$$a(x+b/a)+b(y-a/b)=gcd(a,b)$$

显然$x+b/a,y-a/b$也为方程的一组解
此时，我们把

$$b/a,a/b$$

分别称为x，y的一个周期，一般用字母$T$表示
在步骤1里我们已经得到了方程的一个解$x,y$
因为

$$\begin{cases} x'=x+k*T1\\ y'=y+k*T2 \end{cases}$$

也为方程的一组解，所以

$$\begin{cases} x'=x\%T1\\ y'=y\%T2 \end{cases}$$

因为无法保证$x,y$同时都为正整数
所以对于$x$的最小正整数解为

$$x'=(x\%T1+T1)\%T1$$

3.求普遍方程$ax+by=c$的最小正整数解

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我们已经得到了普遍方城$ax+by=gcd(a,b)$的最小正整数解
我们设

$$p=c/gcd(a,b)$$

那么有

$$a*px+b*py=p*gcd(a,b)$$

对比系数易于得到，$ax+by=c$的对于$x$的最小正整数解为

$$\begin{cases} x'=px\\ y'=py \end{cases}$$

显然如果$c\%gcd(a,b)!=0$那么方程无最小正整数解

求逆元

对于求有理数的模运算

$$(\frac{a}{b})\%p$$

我们可以将其转化为

$$a\%p*(\frac{1}{b}\%p)$$

而$\frac{1}{b}\%p$就可以转化为求方程

$$ax\equiv1(\%p)$$

的解
因为$1\%p=1$，所以$x$就可以看做方程

$$ax+py=1$$

最小正整数解，其中$x$被称为a的逆元
特别的如果$p$是一个质数，那么根据费马小定律

$$a^{p-1}\equiv1(\%p)\\ a*a^{p-2}\equiv1(\%p)$$

所以

$$x=a^{p-2}$$