【学习笔记】数位DP

数位DP

适用条件

此类题目一般要求在\([l,r]\)区间内满足条件的数的个数，答案一般与数的大小无关，而与数各位的组成有关。题目中给出的数的范围一般较大，往往在\(10^9\)以上因此无法暴力枚举，只能使用动态规划

代码实现

使用记忆化搜索更简单易于理解。
从数的高位向低位搜索，每一位可以为\(0-9\)。但是注意当搜索到第\(i\)位时，如果前\(i-1\)位已经是最大值时，那么当前的数也不能超过最值，即范围为

\[0-a[i] \]

因此记忆化搜索函数需要两个参数。
1.\(cur\)表示当前位于第\(cur\)位
2.\(lim\)表示前\(cur-1\)是否已经全部达到最大值。若\(lim_{cur+1}==1\)，当且仅当

\[lim_{cur}==1,i==max \]

因为题目要求\([l,r]\)区间内满足条件的个数，由于个数满足区间可加性，因此可以用类似前缀和的方法来求。设\(calc(i)\)表示\(0-i\)区间内的个数，那么答案就是\(calc(r)-calc(l-1)\)

\(ACcode\)

\(DFS code\)

int dfs(int x,bool lim){
	if(x<=0)return 1;
	if(!lim&&f[x]!=-1)return f[x];
	int up=lim?a[x]:9;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=up;i++){
		if(i!=4)ans+=dfs(x-1,lim&&(i==up));
	}
	if(!lim)f[x]=ans;
	return ans;
}

初始化+\(calc\ code\)

int calc(int x){
	len=0;
	memset(f,-1,sizeof(f));
	while(x){
		a[++len]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(len,1);
}