Day7 - H - 青蛙的约会 POJ - 1061

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

-1s

思路：扩展欧几里德，跳一次花费时间相同，说明跳的次数一样,相遇满足条件x+mt与y+nt对L同余，即:x+mt=y+nt+kL
即：(m-n)t-kL=y-x，t与k是未知数，a=m-n, b=-k,带入扩展欧几里德，得到gcd(a,b),若gcd(a,b)|y-x,则有解，否则无解
算出来的t,k是方程的一个特解，相当于at+bk=gcd(a,b),先将t*=(y-x)/gcd(a,b),再根据找最小解的情况解出答案即可
如何进行：
两个方程：
ax+by=gcd(a,b)
ax0+by0=gcd(a,b)
两式相减， 有 a(x-x0) = b(y0-y)
同除gcd(a,b), a/gcd(a,b)与b/gcd(a,b)互质，所以 b|x-x0, y同理, 又因为x与y相加满足(1)式，相当于一个增大一个减小
得到：
x = x0 + t * b/gcd(a,b)
y = y0 - t * a/gcd(a,b)
参考博客：https://www.cnblogs.com/caibingxu/p/10850664.html
本题代码：

typedef long long LL;

void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d) {
    if(!b) {
        d = a, x = 1, y = 0;
    } else {
        ex_gcd(b, a%b, y, x, d);
        y -= (a/b)*x;
    }
}


int main(){
    LL x, y, m, n, L, ansx, ansy, d;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L);
    ex_gcd(m-n, -L, ansx, ansy, d);
    if((y-x) % d != 0) {
        printf("Impossible\n");
        return 0;
    }
    LL A = -L / d;
    ansx *= (y-x)/d;
    ansx = (ansx % A + A)%A;
    printf("%lld\n", ansx);
    return 0;
}

 

　注意所求的最小解是大于0的，需要判断一下