【模板+例题】Lucas定理

若 $p$ 为质数，则对于任意整数 $1\le m\le n$，有：

$C_n^m\equiv C_{n÷p}^{m÷p}\times C_{n\mathrm{mod}p}^{m\mathrm{mod}p}(modp)$

也就是把 $n$ 和 $m$ 表示成 $p$ 进制数，并且对 $p$ 进制数下的每一位分别计算组合数，累乘起来。

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CODE

inline int power(int x,int y,int p){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%p; 
        x=x*x%p; 
        y>>=1;
    }
    return res%p;
}
inline int C(int x,int y,int p){
	if(y>x) return 0;
	return jc[x]*power(jc[y]*jc[x-y]%p,p-2,p)%p;//乘上逆元
}
inline int Lucas(int x,int y,int p){
    if(!y) return 1;
    return C(x%p,y%p,p)*Lucas(x/p,y/p,p)%p;
}

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例题

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可先与处理出阶乘数组（在 $p$ 范围内）,再每组用 Lucas 定理计算组合数。

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CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int p=10007;
const int N=1e5+10;
int T,n,m,jc[N];
inline int power(int x,int y,int p){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%p; 
        x=x*x%p; 
        y>>=1;
    }
    return res%p;
}
inline int C(int x,int y,int p){
	if(y>x) return 0;
	return jc[x]*power(jc[y]*jc[x-y]%p,p-2,p)%p;
}
inline int Lucas(int x,int y,int p){
//	int ans=1;
//	while(x&&y){
//		ans*=C(x%mod,y%mod,mod)%mod;	
//		x/=mod;y/=mod;
//	}return ans;
    if(!y) return 1;
    return C(x%p,y%p,p)*Lucas(x/p,y/p,p)%p;
}
signed main(void){
	scanf("%lld",&T);
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=p;++i) jc[i]=(i*jc[i-1])%p;
	while(T--){
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		printf("%lld\n",Lucas(n,m,p));
	}
}

__EOF__

本文作者：GOD_HJ
本文链接：https://www.cnblogs.com/GOD-HJ/p/17321224.html
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