Luogu7116 [NOIP2020] 微信步数
Luogu7116 [NOIP2020] 微信步数
拉格朗日插值
\(NOIP\)题咕了这么久，我果然是咕咕怪。
把题意进行转化，可以发现就是求每一天中存活的坐标数量。
我们的思路是，对每一步，同时计算它在多轮贡献，那么就需要计算出每一步能够走多少轮。
令\(l_{i,j,k},r_{i,j,k}\)分别表示第\(i\)轮，第\(j\)步，第\(k\)维的存活区间的左右端点。
那么这一步的贡献就是对应的一个超立方体内的点数。
容易发现，对于一步来说，从第二轮开始会出现每次减少一定范围的情况，我们可以把它列出式子：
\[\sum_{x=0}^T \prod_i A-Bx-C_i
\]
\(T\)为最多走的轮数，\(A\)为第一轮后存活的点数，\(B\)为每轮死亡的点数，\(C_i\)当前这一维度，第二轮中到达枚举的这步时已经死亡的点数。
可以先算出关于\(x\)的多项式，然后利用拉格朗日插值算出自然数幂前缀和，即可快速计算贡献。
时间复杂度：\(O(nk^2)\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 500005
#define ll long long
using namespace std;
const int p=1000000007;
const int INF=1000000007;
int n,k,ans,w[N],c[N],d[N],e[15],a[15],b[15];
int l[N][15],r[N][15];
int x[15],y[15],z[15],f[15];
int inv[15],fac[15],infac[15];
int pre[15],suf[15],E[15][15];
void Add(int &x,int y)
{
x=(x+y)%p;
}
void Del(int &x,int y)
{
x=(x-y)%p;
}
void Mul(int &x,int y)
{
x=(ll)x*y%p;
}
int add(int x,int y)
{
return (x+y)%p;
}
int del(int x,int y)
{
return (x-y)%p;
}
int mul(int x,int y)
{
return (ll)x*y%p;
}
int ksm(int x,int y)
{
int ans(1);
while (y)
{
if (y & 1)
Mul(ans,x);
Mul(x,x);
y >>=1;
}
return ans;
}
void ckmin(int &x,int y)
{
x=(x<y)?x:y;
}
void ckmax(int &x,int y)
{
x=(x>y)?x:y;
}
int calc(int n,int m)
{
int ans(0);
for (int i=1;i<=m+2;++i)
y[i]=add(y[i-1],E[i-1][m]);
pre[0]=1;
for (int i=1;i<=m+2;++i)
pre[i]=mul(pre[i-1],n-i+1);
suf[m+3]=1;
for (int i=m+2;i;--i)
suf[i]=mul(suf[i+1],n-i+1);
for (int i=1;i<=m+2;++i)
{
int t(mul(infac[i-1],infac[m+1-i+1]));
if ((m+1-i+1) & 1)
t=-t;
Mul(t,y[i]);
Add(ans,mul(t,mul(pre[i-1],suf[i+1])));
}
return ans;
}
int main()
{
inv[1]=fac[0]=fac[1]=infac[0]=infac[1]=1;
for (int i=2;i<=14;++i)
inv[i]=mul(p-p/i,inv[p%i]),fac[i]=mul(fac[i-1],i),infac[i]=mul(infac[i-1],inv[i]);
for (int i=0;i<=14;++i)
for (int j=0;j<=14;++j)
E[i][j]=ksm(i,j);
scanf("%d%d",&n,&k);
for (int i=1;i<=k;++i)
scanf("%d",&w[i]);
for (int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d%d",&c[i],&d[i]);
e[c[i]]+=d[i];
memcpy(l[i],l[i-1],sizeof(l[i-1]));
memcpy(r[i],r[i-1],sizeof(r[i-1]));
ckmin(l[i][c[i]],e[c[i]]);
ckmax(r[i][c[i]],e[c[i]]);
}
bool flag=true;
for (int i=1;i<=k;++i)
flag&=(!e[i] && l[n][i]>=-w[i] && r[n][i]<=w[i]);
if (flag)
{
puts("-1");
return 0;
}
for (int i=1;i<=k;++i)
a[i]=w[i]-(r[n][i]-l[n][i]);
for (int i=0;i<=n;++i)
{
int cnt(1);
for (int j=1;j<=k;++j)
Mul(cnt,max(w[j]-(r[i][j]-l[i][j]),0));
Add(ans,cnt);
}
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=k;++j)
{
l[i][j]=min(0,l[i][j]+e[j]-l[n][j]);
r[i][j]=max(0,r[i][j]+e[j]-r[n][j]);
}
for (int i=1;i<=k;++i)
b[i]=r[n][i]-l[n][i];
int lst(-1);
for (int i=1;i<=n;++i)
{
int T(INF);
memset(f,0,sizeof(f)),f[0]=1;
bool flag=true;
for (int j=1;j<=k;++j)
{
int xs(a[j]-(r[i][j]-l[i][j]));
if (xs<=0)
{
flag=false;
break;
}
if (b[j]>0)
ckmin(T,xs/b[j]);
for (int t=k;t>=0;--t)
{
Mul(f[t],xs);
if (t)
Add(f[t],mul(f[t-1],-b[j]));
}
}
if (!flag)
break;
if (lst!=T)
{
for (int j=0;j<=k;++j)
z[j]=calc(T,j);
lst=T;
}
for (int j=0;j<=k;++j)
Add(ans,mul(f[j],z[j]));
}
Add(ans,p);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
