导数相关公式

求导公式：

\[f(x)=C \quad \rightarrow \quad f'(x)=0\\ f(x)=x^n \quad \rightarrow \quad f'(x)=nx^{n-1}\\ f(x)=\ln x \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{x}\\ f(x)=\log_a x \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{x \ln a}\\ f(x)=e^x \quad \rightarrow \quad f'(x)=e^x\\ f(x)=a^x \quad \rightarrow \quad f'(x)=a^x \ln a (a>0,a \ne 1)\\ f(x)=\sin x \quad \rightarrow \quad f'(x)=\cos x\\ f(x)=\cos x \quad \rightarrow \quad f'(x)=-\sin x\\ f(x)=\tan x \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}\\ \]

导数运算法则：

\[(f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pm g'(x)\\ (f(x) \cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ (\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} (g(x) \ne 0) \]

复合函数求导公式：

\[[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) \]

常用泰勒展开公式（展开公式可以用来求函数封闭形式）：

\[\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty} x^i=1+x+x^2+x^3+\cdots\\ \frac{1}{1+x}=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i x^i=1-x+x^2-x^3+\cdots\\ e^x=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\\ \ln(1+x)=\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i-1}\frac{x^i}{i}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\\ \sin x=\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i-1}\frac{x^{2i-1}}{(2i-1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\\ \cos x=\sum_{i=0}^{\infty}=(-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\\ \tan^{-1}x=\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i-1}\frac{x^{2i-1}}{2i-1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots \]

其他展开式：

\[\frac{1}{1-ax}=\sum_{i=0}^{\infty} a^i x^i=1+ax+a^2x^2+\cdots\\ \frac{1}{1+ax}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i a^i x^i=1-ax+a^2x^2-\cdots\\ e^{-x}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i \frac{x^i}{i!}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots\\ \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\\ \frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{2i-1}}{(2i-1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\\ \]