Luogu3345 [ZJOI2015]幻想乡战略游戏

https://www.luogu.com.cn/problem/P3345

虽然带有边权，但是树的重心与未带边权时的重心毫无区别的，因为边权为正时树的重心与边权无关。

证明：

设不带边权时树的重心为\(rt\)

\(S(rt)=\sum_{v} w_{x,v} \times val_v\)

假设转移到\(rt\)其中一个子树的祖先\(v\)时：

\(S(v)=S(rt)-w_{rt,v} \times size_v + w_{rt,v} \times (n-size_v)\)

\(\Delta=(n-size_v \times 2) \times w_{rt,v} \ge 0\)，得证

怎样的点是重心？

除了定义，我们可以得到，满足\(size_u \times 2 \ge n\)的深度最大的点\(u\)为重心

可以通过线段树上二分得到

设\(k\)为原树的根

\[ans=\sum_{v} dis(rt,v) \times val_v \\ =\sum_{v} dis(rt,k) \times val_v + dis(v,k) \times val_v - 2 \times dis(lca_{rt,v},k) \times val_v \]

\(dis(lca_{rt,v},k) \times val_v\)如何处理？

\[\sum_{v} dis(lca_{rt,v},k) \times val_v=\sum_{u为rt及其祖先,u \ne k} size_u \times w_{u,fa_u} \]

为什么？我们换一种方式，对于每条边记录其贡献

考虑一下\(rt\)和哪些点的\(lca\)到\(k\)路径会经过\(edge_{u,fa_u}\)，显然就是那些在\(u\)子树内的节点嘛！

\(Code:\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
int n,q,x,y,z;
int tot,fr[N],d1[N << 1],d2[N << 1],nxt[N << 1];
int f[N],t[N],sz[N],son[N];
int cnt,eg[N],dfn[N],rdfn[N],dep[N],rdis[N];
ll vals=0,diss=0;
struct node
{
    int es,l,r;
    ll tag,vs,ms;
    node *ls,*rs;
}tr[N << 2],*ct=tr,*rt;
void add(int x,int y,int z)
{
    tot++;
    d1[tot]=y;
    d2[tot]=z;
    nxt[tot]=fr[x];
    fr[x]=tot;
}
void dfs1(int u)
{
    sz[u]=1;
    int mx=-1;
    for (int i=fr[u];i;i=nxt[i])
    {
        int v=d1[i];
        int cost=d2[i];
        if (v==f[u])
            continue;
        f[v]=u;
        eg[v]=cost;
        dep[v]=dep[u]+1;
        rdis[v]=rdis[u]+cost;
        dfs1(v);
        sz[u]+=sz[v];
        if (sz[v]>mx)
            mx=sz[v],son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int tp)
{
    dfn[u]=++cnt;
    rdfn[cnt]=u;
    t[u]=tp;
    if (!son[u])
        return;
    dfs2(son[u],tp);
    for (int i=fr[u];i;i=nxt[i])
    {
        int v=d1[i];
        if (v==f[u] || v==son[u])
            continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
void build(node *&p,int l,int r)
{
    p=ct++;
    p->l=l,p->r=r;
    if (l==r)
    {
        p->es=eg[rdfn[l]];
        return;
    }
    int mid=(l+r) >> 1;
    build(p->ls,l,mid);
    build(p->rs,mid+1,r);
    p->es=p->ls->es+p->rs->es;
}
void push_tag(node *&p,ll z)
{
    p->vs+=z*p->es;
    p->ms+=z;
    p->tag+=z;
}
void push_down(node *&p)
{
    push_tag(p->ls,p->tag);
    push_tag(p->rs,p->tag);
    p->tag=0;
}
void update(node *&p)
{
    p->vs=p->ls->vs+p->rs->vs;
    p->ms=max(p->ls->ms,p->rs->ms);
}
void modi(node *&p,int x,int y,int z)
{
    if (p->l==x && p->r==y)
    {
        push_tag(p,z);
        return;
    }
    push_down(p);
    int mid=(p->l+p->r) >> 1;
    if (y<=mid)
        modi(p->ls,x,y,z); else
    if (x>mid)
        modi(p->rs,x,y,z); else
        {
            modi(p->ls,x,mid,z);
            modi(p->rs,mid+1,y,z);
        }
    update(p);
}
ll calcT(node *&p,int x,int y)
{
    if (p->l==x && p->r==y)
        return p->vs;
    push_down(p);
    int mid=(p->l+p->r) >> 1;
    if (y<=mid)
        return calcT(p->ls,x,y); else
    if (x>mid)
        return calcT(p->rs,x,y); else
        return calcT(p->ls,x,mid)+calcT(p->rs,mid+1,y);
}
void modify(int x,int y)
{
    while (x)
    {
        modi(rt,dfn[t[x]],dfn[x],y);
        x=f[t[x]];
    }
}
ll query(int x)
{
    ll ans=0;
    while (x)
    {
        ans+=calcT(rt,dfn[t[x]],dfn[x]);
        x=f[t[x]];
    }
    return ans;
}
int weight()
{
    node *p=rt;
    while (p->l!=p->r)
    {
        push_down(p);
        if ((p->rs->ms << 1)>=rt->ms)
            p=p->rs; else
            p=p->ls;
    }
    return rdfn[p->l];
}
ll calc(int x)
{
    return vals*rdis[x]+diss-query(x)*2;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z),add(y,x,z);
    }
    dep[1]=1,rdis[1]=0;
    dfs1(1);
    dfs2(1,1);
    build(rt,1,n);
    while (q--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        vals+=y;
        diss+=(ll)rdis[x]*y;
        modify(x,y);
        printf("%lld\n",calc(weight()));
    }
    return 0;
}