Luogu4351 [CERC2015]Frightful Formula
https://www.luogu.com.cn/problem/P4351
\(FFT\)
首先，计算\((i,j)\)到\((n,n)\)的路径数
需要往下走\(n-i\)次，往右走\(n-j\)次
如果把向下当做\(D\)，向右当做\(R\)
相当于在\((n-i)+(n-j)\)个字符中选择\(n-i\)个作为\(D\)，方案数为\({2n-i-j \choose n-i}\)
由于不能重复统计，\(a,b\)的贡献只能算第一行第一列(除去\((1,1)\))，\(c\)则需要计算每行每列
\[ans=\sum_{i=2}^n {2n-i-1 \choose n-i} a^{n-1} b^{n-i}+\sum_{i=2}^n {2n-i-1 \choose n-i} a^{n-i} b^{n-1}+\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n {2n-i-j \choose n-i} c
\]
\(\sum_{i=2}^n {2n-i-1 \choose n-i} a^{n-1} b^{n-i},\sum_{i=2}^n {2n-i-1 \choose n-i} a^{n-i} b^{n-1}\)可以\(O(n)\)解决
\[\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n {2n-i-j \choose n-i} c=\\
\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n c \frac{(2n-i-j)!}{(n-i)!(n-j)!}
\]
令\(f(n)=n!,g(n)=\frac{1}{n!}\)
\[\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n c \frac{(2n-i-j)!}{(n-i)!(n-j)!}=\\
\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n c f(2n-i-j)g(i)g(j)=\\
\sum_{s=0}^{2n} f(s) \sum_{i=0}^{n-2} g(i)g(s-i)\\
FFT!
\]
