【YBTOJ】【Luogu P2601】[ZJOI2009]对称的正方形

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题目大意：

在一个 \(n \times m\) 的矩阵内求出上下左右都对称的正方形。

\(1\leq n,m\leq 1000\)。

正文：

对于本题有一个性质：一个合法的正方形内部也是合法的正方形。

然后可以得到一个暴力的思路。对于每一个点往外扩张，每次判合法就可以只判断最外一层，这是边长为奇；还要预处理出所有边长为二的合法正方形，同样向外扩张。

每次判外圈时，相当于有若干个长方形要在合法的位置：

如图，不同颜色的格子可以看作不同长方形的顶点。

一般一道题想得这么复杂，要换个思路，重新审题。

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其实判合法并不用这么麻烦。既然合法的正方形是上下、左右对称，那我们就取正方形的左上部分、左右颠倒的右上部分、上下颠倒的左下部分判是否一样。

可以通过二维哈希判。

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\(\mathcal{O}(n)\) 往外扩张会超时，可以二分解决。这里最好不要像上文提到的枚举正方形的中心点，最好是枚举正方形的左上角，然后二分正方形的边长。

代码：

int n, m;
unsigned ll base1 = 87, base2 = 31;
unsigned ll a[N][N], b[N][N], c[N][N], ans;
unsigned ll Ha[N][N], Hb[N][N], Hc[N][N];
unsigned ll fac1[N], fac2[N];

bool check(int len, int x, int y)
{
	if (x > n || y > m || x < len || y < len) return 0;
	unsigned ll CHa = 0, CHb = 0, CHc = 0;
	CHa = Ha[x][y] - Ha[x - len][y] * fac2[len] - 
	      Ha[x][y - len] * fac1[len] + Ha[x - len][y - len] * fac1[len] * fac2[len];
	int t = y; y = m - (y - len);
	CHb = Hb[x][y] - Hb[x - len][y] * fac2[len] - 
	      Hb[x][y - len] * fac1[len] + Hb[x - len][y - len] * fac1[len] * fac2[len];
	y = t, x = n - (x - len);
	CHc = Hc[x][y] - Hc[x - len][y] * fac2[len] - 
	      Hc[x][y - len] * fac1[len] + Hc[x - len][y - len] * fac1[len] * fac2[len];
	return CHa == CHb && CHb == CHc;
}

ll Binary(int i, int j, int f = 0)
{
	int l = 0, r = min(i, j) + f, mid, tmp = f;
	while (l <= r)
	{
		mid = l + r >> 1;
		if (check(mid * 2 - f, i + mid, j + mid))
			l = mid + 1, tmp = mid * 2 - f; 
		else r = mid - 1;
	}
	return (tmp + 1) / 2;
}

int main()
{
	n = READ(), m = READ();
	fac1[0] = fac2[0] = 1ull;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		fac1[i] = fac1[i - 1] * base1;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		fac2[i] = fac2[i - 1] * base2;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			b[i][m - j + 1] = c[n - i + 1][j] = a[i][j] = READ();
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			Ha[i][j] += Ha[i][j - 1] * base1 + a[i][j],
			Hb[i][j] += Hb[i][j - 1] * base1 + b[i][j],
			Hc[i][j] += Hc[i][j - 1] * base1 + c[i][j];
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			Ha[i][j] += Ha[i - 1][j] * base2,
			Hb[i][j] += Hb[i - 1][j] * base2, 
			Hc[i][j] += Hc[i - 1][j] * base2;

	for (int i = 1; i <= n; i++)
 		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			ans += Binary(i, j, 1) + Binary(i, j);
		}
	printf ("%llu\n", ans);
	return 0;
}