【YBTOJ】【Luogu P4570】[BJWC2011]元素

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题目大意：

有 \(n\) 个物品，第 \(i\) 个物品有一个权值和一个序号。你需要在这之中选若干个物品，使得其中任意一个物品序号不会被其他数表示。求出一个权值最大的可行方案。

正文：

可以贪心权值从大到小选择当前物品是否可行。

如何证明这个的正确性呢？假设有三个物品 \(i,j,k\)，其中 \(i,j\) 在线性基中，而 \(k\) 不在（即 \(val_k<val_i,val_j\)），且 \(id_i\text{xor}id_j=id_k\)。可以很容易发现如果让 \(k\) 插入线性基放弃 \(i\) 或 \(j\) 的话肯定不是最优的。

然后就是利用线性基能够判断当前数能否被线性基里的数异或表示的性质解题了。假设我们插入 \(k\) 失败，它会因为在线性基里不断异或里面的数而最后变成 \(0\)，那统计答案时只需要看最后的 \(id_k\) 是否为零就好了。

代码：

struct node
{
	ll val, id;
	bool operator < (const node &x) const
	{
		return val > x.val;
	}
}a[N];

int n; 
ll ans;
ll d[65];
void Insert(ll &val)
{
	for(int i = 64; i >= 0; --i)
		if(val & (1ll << i))
		{
			if (d[i]) val ^= d[i];
			else {d[i] = val; return;} 
		}
}

int main()
{
//	freopen(".in", "r", stdin);
//	freopen(".out", "w", stdout);
	scanf ("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf ("%lld%lld", &a[i].id, &a[i].val);
	sort (a + 1, a + 1 + n);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		Insert(a[i].id);
		if (a[i].id) ans += a[i].val;
	}
	printf ("%lld\n", ans);
    return 0;
}