【Luogu P2048】[NOI2010] 超级钢琴

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题目

题目大意：

在一个长度为 \(n\) 的数列里，找出长度在 \([L,R]\) 中的 \(k\) 个子段，使它们的和最大。

正文：

我们可以把问题转化为求出一部分的：

\[sum_{x}-sum_{x-i}\quad(i\in [L,R]) \]

其中 \(sum\) 是前缀和。

可以考虑枚举左端点，然后用 ST 表找到最优的右端点，然后把它丢到一个大根堆里，就可以解决答案了吗？

并不。原因是，一个左端点，除了最优的右端点，其它的可能对于总答案来说还是较为优秀的，也不能忽略。而这一个问题可以分治解决：假设当前最优的右端点是 \(x\)，可以在 \([l,x-1]\) 或者 \([x+1,r]\) 里再找一个。这是整道题的核心。

可能是我自己的锅，但是实践发现枚举左端点要比枚举右端点更优秀。

代码：

const int N = 5e5 + 10;

int n, k, L, R;
ll sum[N], f[N][25], ans;
struct node
{
	ll x, y, l, r;
	inline bool operator < (const node& a) const
	{
		return sum[y] - sum[x - 1] < sum[a.y] - sum[a.x - 1];
	}
};
priority_queue<node> q;

ll query (int l, int r)
{
	int t = log2(r - l + 1);
	return sum[f[l][t]] > sum[f[r - (1 << t) + 1][t]]? f[l][t]: f[r - (1 << t) + 1][t];
}

int main()
{
//  freopen(".in", "r", stdin);
	scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &L, &R);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf ("%lld", &sum[i]), sum[i] += sum[i - 1],
		f[i][0] = i;
	for (int j = 1; j <= 20; j++)
		for (int i = 1; i + (1 << j - 1) <= n; i++)
			f[i][j] = sum[f[i][j-1]] > sum[f[i+(1<<j-1)][j-1]]? f[i][j-1]: f[i+(1<<j-1)][j-1];
	for (int i = 1; i + L - 1 <= n; ++i)
		q.push((node){i, query(i + L - 1, min(i + R - 1, n)), i + L - 1, min(i + R - 1, n)});
	for (; k--; )
	{
		node x = q.top();q.pop();
		ans += sum[x.y] - sum[x.x - 1];
//		printf ("%lld\n", sum[x.x] - sum[x.y]);
		if (x.l != x.y) q.push((node){x.x, query(x.l, x.y - 1), x.l, x.y - 1});
		if (x.r != x.y) q.push((node){x.x, query(x.y + 1, x.r), x.y + 1, x.r});
	}
	printf ("%lld\n", ans);
	return 0;
}