【YBTOJ】【Luogu P1080】国王游戏

题目大意：

两个数列 \(a_i,b_i\)。位置 \(i\) 的价值是 \(\frac{\prod_{j=0}^{i-1}a_j}{b_i}\)，现在给两个数列 \(a,b\) 同时排列，问怎么排使得最大权值最小。

正文：

设 \(s_i\) 表示 \(\prod_{j=0}^{i}a_j\)，考虑贪心邻相交换：

当前位置	\(a\)	\(b\)	交换前权值
\(i\)	\(a_i\)	\(b_i\)	\(\frac{s_{i-1}}{b_i}\)
\(i+1\)	\(a_{i+1}\)	\(b_{i+1}\)	\(\frac{s_{i-1}\times a_i}{b_{i+1}}\)

\(\text{ans}_1=\max\{\frac{s_{i-1}}{b_i},\frac{s_{i-1}\times a_i}{b_{i+1}}\}\)

交换后：

当前位置	\(a\)	\(b\)	交换后权值
\(i+1\)	\(a_{i+1}\)	\(b_{i+1}\)	\(\frac{s_{i-1}}{b_{i+1}}\)
\(i\)	\(a_i\)	\(b_i\)	\(\frac{s_{i-1}\times a_{i+1}}{b_i}\)

\(\text{ans}_2=\max\{\frac{s_{i-1}}{b_{i+1}},\frac{s_{i-1}\times a_{i+1}}{b_i}\}\)

显然 \(\frac{s_{i-1}}{b_i}<\frac{s_{i-1}\times a_{i+1}}{b_i}\)。

若 \(\text{ans}_1<\text{ans}_2\)，那么 \(\frac{s_{i-1}\times a_i}{b_{i+1}}<\frac{s_{i-1}\times a_{i+1}}{b_i}\)。

对这个式子变形：

\[\begin{aligned}\frac{s_{i-1}\times a_i}{b_{i+1}}&<\frac{s_{i-1}\times a_{i+1}}{b_i}\\ s_{i-1}\times a_i\times b_i&<s_{i-1}\times a_{i+1}\times b_{i+1}\\ a_i\times b_i&<a_{i+1}\times b_{i+1}\ \end{aligned}\]

也就是说，答案尽量小的话，\(a_i\times b_i\) 必须小，那就按这个为 key 对它们排序。

接下来就更简单了，枚举 \(i\) 的权值，取个最大就行啦!

由于本题很毒瘤，所以开个高精度。

代码：

const int N = 1010;

struct node
{
	int a[50010];
    int &operator [](int x){return a[x];}
	node()
	{
		memset (a, 0, sizeof a);
	}
	inline void print()
	{
		for (int i = a[0]; i >= 1; i--)
			printf ("%d", a[i]);
	}
}ans, tool;

node operator * (node A, ll a)  
{
	int s = 0, g = 0;
	node C;
	int len = A[0];
	for (int i = 1; i <= len + 10; i++)
	{
		s = A[i] * a + g, g = s / 10;
		C[i] = s % 10;
		if (!s && !g && i > len) break;
		C[0] = i; 
	}
	return C;
}

node operator / (node A, ll a)  
{
	int s = 0;
	node C;
	C[0] = A[0];
	for (int i = A[0]; i; i--)
	{
		s = s * 10 + A[i];
		C[i] = s / a, s %= a;
	}
	while (!C[C[0]] && C[0] > 1) --C[0];
	return C;
}

node Max (node a, node b)
{
	if (a[0] > b[0]) return a;
	if (a[0] < b[0]) return b;
	for (int i = a[0]; i >= 1; i--)
	{
		if (a[i] > b[i]) return a;
		if (a[i] < b[i]) return b;
	}
	return a;
}

struct INp 
{
	ll x, y;
}a[N];

bool cmp (INp a, INp b)
{
	return a.x * a.y < b.x * b.y;
}

int n, m;

int main()
{
	scanf ("%d", &n);
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		scanf ("%lld%lld", &a[i].x, &a[i].y);
	sort (a + 1, a + 1 + n, cmp);
	tool[1] = tool[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		tool = tool * a[i - 1].x;
		ans = Max(ans, tool / a[i].y);
	}
	ans.print();
    return 0;
}