【YBTOJ】合法序列

题目大意：

给你一个长度为 \(n\) 的正整数序列，如果一个连续的子序列，子序列的和能够被 \(k\) 整除，那么就视此子序列合法，求原序列包括多少个合法的连续子序列？

正文：

如果一段区间要合法，那么就要满足这个条件：

\[\sum_{i=l}^{r}a_i\equiv 0\pmod{k} \]

先考虑暴力。直接枚举，\(O(n^3)\)。

优化这个暴力，我们一般可以使用前缀和，\(O(n^2)\)。

利用前缀和那么条件就变成了：

\[\begin{aligned}\text{sum}_r-\text{sum}_{l-1}&\equiv 0&\pmod{k}\\ \text{sum}_r&\equiv \text{sum}_{l-1}&\pmod{k} \end{aligned}\]

也就是说，我们可以先求前缀和，再枚举余数，只要有前缀和模 \(k\) 余数的个数大于二的（即能匹配到的）就用排列组合求出它的价值，也就是 \(\frac{t\times(t-1)}{2}\) 其中 \(t\) 表示前缀和模 \(k\) 余数的个数。

代码：

int main() {
	for (scanf ("%d", &t); t--; ) {
		scanf ("%d%d", &k, &n);
		memset (sum, 0, sizeof sum);
		memset (bucket, 0, sizeof bucket);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf ("%lld", &sum[i]);
			sum[i] += sum[i - 1];
			bucket[sum[i] % k]++;
		}
		ll ans = 0;
		++ bucket[0];
		for (int i = 0; i < k; i++)
			if (bucket[i] >= 2)
			{
				ans += bucket[i] * (bucket[i] - 1) / 2;
			}
		printf ("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}