【学习笔记】高斯消元法

引出：

给定一个线性方程组，对其求解。

一般对于求解线性方程组的问题，我们用到高斯消元法对其进行求解。那么高斯消元咋消啊？

正文：

假设我们要求解一个线性方程组：

\[\left\{\begin{matrix} x&+& 3y&+& 4z&=&5 \\ x&+& 4y&+& 7z&=&3 \\ 9x&+& 3y&+& 2z&=&2 \end{matrix}\right.\]

按照数学课上常规操作，我们应该先选择一个式子的 \(x\)，用它消去其它式子的所有的 \(x\)，剩下的式子就可以看作是一个 \((n-1)\) 元一次方程了，接下来即可递归下去，直到最后一元 \(z\)，就能代回到其它式子得到答案了。

比如上面的式子先用第三个式子消掉其它的 \(x\)：

\[\left\{\begin{matrix} 0\times x&+& \frac{8}{3}y&+& \frac{34}{9}z&=&\frac{43}{9} \\ 0\times x&+& \frac{11}{3}y&+& \frac{61}{9}z&=&\frac{25}{9} \\ 9x&+& 3y&+& 2z&=&2 \end{matrix}\right.\]

剩下的式子，再用第二个式子消 \(y\)：

\[\left\{\begin{matrix} 0\times y&+& (-\frac{114}{99}z)&=&\frac{273}{99} \\ \frac{11}{3}y&+& \frac{61}{9}z&=&\frac{25}{9} \\ \end{matrix}\right.\]

得到 \(z=-2.39\)，用 \(z\) 代回得到 \(y=5.18,x=-0.97\)。

在代码中实现就是这样的步骤。

代码：

int main()
{
	scanf ("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
			scanf ("%lf", &a[i][j]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int mxi = i;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			if(fabs(a[mxi][i]) < fabs(a[j][i])) mxi = j;
		if(fabs(a[mxi][i]) < 1e-7) 
		{
			puts("No Solution"); return 0;
		}
		swap(a[mxi], a[i]);
		double inv = a[i][i];
		for (int j = i; j <= n + 1; j++)
			a[i][j] /= inv;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
		{
			inv = a[j][i];
			for (int k = i; k <= n + 1; k++)
				a[j][k] -= a[i][k] * inv;
		}
	} 
	ans[n] = a[n][n + 1];
	for (int i = n - 1; i; --i)
	{
		ans[i] = a[i][n + 1];
		for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
			ans[i] -= ans[j] * a[i][j];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%.2lf\n", ans[i]);
	return 0;
}