【学习笔记】莫比乌斯反演
前置知识：
狄利克雷卷积：
定义一个运算 \(*\)，使得：
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]
一些常见的积性函数：
- 欧拉函数 \(\varphi(n)\)
- 莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)
- 单位函数 \(Id(n)=n\)
- 不变函数 \(1(n)=1\)
- 幂函数 \(Idk(n)=n^k\)
- 狄利克雷卷积单位元 \(\epsilon=[n==1]\)
筛莫比乌斯函数：
首先介绍莫比乌斯函数的定义：
\[\mu=\left\{\begin{matrix}1&\quad(n=1)\\(-1)^k&\quad(n=P_1P_2\cdots P_k)\\0&(n={P_1}^{c_1}{P_2}^{c_2}\cdots{P_k}^{c_k}|(\sum_{i} c_i)>1)\end{matrix}\right.
\]
一般就用欧拉筛去筛这个 \(mu\)：
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
if(!vis[i]) {pri[++cnt] = i, mu[i] = -1;}
for (int j = 1; j <= cnt && pri[j] * i <= N; j++)
{
vis[pri[j] * i] = 1;
if (i % pri[j] == 0)
{
mu[i * pri[j]] = 0;
break;
}
else
mu[i * pri[j]] = -mu[i];
}
}
反演：
主流的方法不太利于新手，新手一般可以用莫反 \(\mu*1=\epsilon\) 的性质化式子（虽然只是反演过程看上去不同，其实一样）。
至于这个 \(\mu*1=\epsilon\)，我们可以证明它：
\[\mu*1=\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^iC_k^i
\]
二项式定理展开是 \((x+y)^k=\sum_{i=0}^{k}x^iy^{k-i}C_k^i\)，而我们化简得到的式子不就是 \(x=-1,y=1\) 时的情况吗？即：
\[\sum_{i=0}^{k}(-1)^iC_k^i=（-1+1)^k = 0^k =\epsilon
\]
在题目里我们要找到隐藏的 \(\epsilon\)，进而求解。
例题（从易到难）：
【Luogu P3455】 [POI2007]ZAP-Queries
【Luogu P5518】[MtOI2019]幽灵乐团 / 莫比乌斯反演基础练习题
