【Luogu 6772】 [NOI2020]美食家

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题目

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题目大意：

给定一个有 \(n\) 个节点的有向图，每一个点有点权，在某些时候达到某些点能获得额外值，从点 1 出发，问 \(t\) 天后回到点 1 的最大价值。

正文：

方法一：

直接无脑DP，设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 天时正好到点 \(j\) 的最大价值，转移 \(f_{i,j}=\max\{f_{i-w,k}\}+c_j\)

枚举时再加上附加值，时间复杂度 \(O(Tm)\)。

代码：

f[0][1] = c[1];
for (int i = 1; i <= m; i++) 
	scanf ("%lld%lld%lld", &e[i].from, &e[i].to, &e[i].w);
for (ll i = 1, tim, u, v; i <= k; i++)
	scanf ("%lld%lld%lld", &tim, &u, &v),TouShui[tim][u] = v; 
for (int i = 1; i <= T; i++)
{
	for (int j = 1; j <= m; j++)
		if(f[i - e[j].w][e[j].from])
		{
			f[i][e[j].to] = max(f[i][e[j].to], f[i - e[j].w][e[j].from]) + c[e[j].to] + TouShui[i][e[j].to];   
		}
} 
printf("%lld", f[T][1]);

方法二：

若附加值和边权先不管，这题就是矩阵乘法优化的神（S）怖（B）题，理由是不可能存在第某天在路上的情况。定义一个矩阵 \(F_i\) 表示到第 \(i\) 天的各个 \(f_i\) 的状态。那我们定义一个广义矩阵乘法 \(C_{i,j}=\max\{B_{i,k}+C{k,j}\}\)，那么构造一个邻接矩阵 \(A\)，\(F_{i}=F_{i-1}\times A\)，答案就是 \(F_{t}=F_0\times A^t\) 了。只可惜这道题还有附加值和边权的问题。

边权问题：

注意看数据范围，发现边长小于等于五，直接拆点，建议不要拆边因为拆边数据过大会爆，如果你的程序过不了可能是因为拆的是边而不是点。

附加值问题：

可以给时间分段：

吃完一个美食节就直接跳到下一个美食节。最后再利用快速幂的思想给程序进行小优化就能过了。

代码：

最后提醒，检查数组范围，只要经过矩阵乘法运算的数组都要记得乘五（即拆点的范围）。

const int N = 60, M = 510, logT = 30, K = 210;
const ll inf = 4e17;

ll n, m, T, k, a[N * 5];
ll c[N * 5];

struct matrix
{
	ll mat[N * 5][N * 5];
	int n, m;
	inline ll* operator [] (int b) { return mat[b];}
	matrix() { memset(mat, 0xcf, sizeof mat);}
}F[logT + 5];

inline matrix operator * (matrix &a, matrix &b)
{
	matrix c; c.n = a.n, c.m = b.m;
	for (int k = 1; k <= a.m; k++)
		for (int i = 1; i <= a.n; i++)
			for (int j = 1; j <= b.m; j++)
				c[i][j] = max(c[i][j], a[i][k] + b[k][j]);
	return c;
}

struct FoodFestival 
{
	ll t, x, y;
}fft[K];

bool cmp (FoodFestival x, FoodFestival y)
{
	return x.t < y.t;
}

void mul(matrix &b)
{
	memcpy(c, a, sizeof(c));
	memset(a, 0xcf, sizeof(a));
	for (int i = 1; i <= b.n; i++)
		for (int j = 1; j <= b.m; j++)
			a[j] = max(a[j], b[i][j] + c[i]);
	return ;
}

void qpow(ll b)
{
	for (ll i = 0; i <= logT; i++)
		if(b & (1 << i)) mul(F[i]);
	return; 
}

signed main()
{
//	freopen("delicacy.in", "r", stdin);
//	freopen("delicacy.out", "w", stdout); 
	scanf ("%lld%lld%lld%lld", &n, &m, &T, &k);
	
	F[0].n = F[0].m = n * 5;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{ 
		scanf("%lld", &c[i]);
		for (int j = 1; j < 5; j++)
			F[0][i + n * j][i + n * (j - 1)] = 0;
	} 
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		ll u, v, tim;
		scanf ("%lld%lld%lld", &u, &v, &tim);
		F[0][u][v + n * (tim - 1)] = c[v];
	} 
	for (int i = 1; i <= logT; i++)
		F[i] = F[i - 1] * F[i - 1];
	
	for (int i = 1; i <= k; i++)
		scanf ("%lld%lld%lld", &fft[i].t, &fft[i].x, &fft[i].y);
	sort (fft + 1, fft + 1 + k, cmp);
	fft[++k] = (FoodFestival) {T, 0, 0};
	
	memset (a, 0xcf, sizeof a);a[1] = c[1];
	ll now = 0;
	for (int i = 1; i <= k; i++)
	{
		qpow(fft[i].t - now);
		a[fft[i].x] += fft[i].y;
		now = fft[i].t;
	}
	if(a[1] < 0) puts("-1");
	else printf("%lld\n", a[1]);
	
	return 0;
}