【学习笔记】整除分块

问题：

给出 \(n,k\)，快速求出：

\[\Large{\sum_{i = 1}^{n} k \mod i} \]

对于\(20\%\)的数据,\(n \leq 10^{6} , 1 \leq k \leq 10^9\)
对于\(100\%\)的数据,\(n \leq 10^{12} , 1 \leq k \leq 10^9\)

方法一：

直接\(O(n)\)暴力求解，期望得分20分。

方法二：

把式子化简：

\[\Large\begin{aligned}\sum_{i = 1}^{n} k \mod i & = \sum_{i = 1}^{n} k - \left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\ i \\ & = \sum_{i = 1}^{n} k - \sum_{i = 1}^{n}\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\ i \\ & = nk - \sum_{i = 1}^{n}\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\ i \end{aligned} \]

假设 \(n = k = 5\)。那么\(\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\) 分别是：

显然对于整数\(d\)，满足\(\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor=d\)的\(i\)必然是一段连续的区间\([l,r]\)。那么且该区间的贡献为\(d\sum_{i=l}^ri=d\cdot\frac{(r-l+1)(l+r)}{2}\)

这样就可以\(O(\sqrt{n})\)求解了，期望得分100分