oi-math 重修 (upd:求导中的四则运算与复合函数求导)
OI 数学重修
注: 很多东西没来得及写例题和代码,以后遇到会补上
想了一下虽然还有很多没写完,但是这两天要开数学了,决定后面的分成一个一个博客写然后在这挂链接,所以发出来了。
主题是看着 oi-wiki 写的,但细节上尤其是证明部分不太一样,毕竟也不是什么教学性质的,权当一个学习笔记罢了,所以可能不适合给别人学,不过可以看看里面的证明。
有错误请及时联系我。
一、 数论 :
1、欧拉函数:
定义:
性质:
1、 欧拉函数是积性函数
当
2、
给个证明:
首先设
3、
其实就是所有的数
4、
证明:
因为
5、对于不为 0 的整数
证明:
设
2、筛法:
这就不再说了,学好线性筛筛积性函数就行。
什么神秘筛法以后再来补充吧。
3、数论分块:
有一些式子里面有的值只和
贴张图:
证明: 当
因此我们可以不用直接枚举
总之看了代码就会了:
int n=read(); for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){ r=n/(n/l);// 当前的取值为 n/l ,取到这个值的右边界是 r ans+=(r-l+1)*(n/l); }
然后更进阶的就有高维数论分块,那么为了每次移动不会跳过任意一维,每次我们取各个维的下一个分界线的最小值。
4、裴蜀定理:
其主要内容有两条:
设
1、 对于任意整数
证明:
∵
∴
∴
2、 存在整数
如果
首先 令
然后我们模拟 辗转相除法 的过程:
第一步 :
第二步 :
第
最后一步,我们注意到
上述证明也给出了我们如何求解
我们在 求解
上述方法可以求得方程的一组特解,该怎么求其他的解呢?
考虑我们知道那组特解
5、 费马小定理与欧拉定理
费马小定理:
若
欧拉定理:
若
ex欧拉定理
证明咕咕咕。
6、 求乘法逆元:
(1)如果模数
(2)当模数
7、 CRT(中国剩余定理)
CRT 是用来求解一组形式如下的一元线性方程组 (
先给出计算过程:
(1): 计算
(2): 对于第
计算
(3): 然后该方程组在模
证明:
首先证明解的正确性:
对于
∵
∴
然后来证明唯一对应性:
考虑方程组在模
应用:
除了求解上述形式的线性方程组之外,还可以使用 CRT 表示一个大数,比如题目要求我们对一个 非质数 取模,这其中需要使用逆元,那我们就可以把这个模数拆开成为几个不互质的模数分别对他们算出答案,然后用 CRT 组合回去。又或者一个 DP 是
8、 威尔逊定理:
对于素数
证明:
当
当
考虑逆元,对于一个数
(1):
(2):
9、 卢卡斯定理:
卢卡斯定理用于求解大组合数取模的问题,说白了就是你要求一个
内容:
对于质数
证明:
首先考虑
上述结论可以应用到多项式中:
考虑一个二项式
所以对于二项式
可以知道
exlucas
咕咕咕。
10、 原根:
决定以后再胡。
11、 莫比乌斯反演:
定义:
性质:
(1)
(2)
证明:
首先 如果
接下来我们只讨论 没有平方因子的情况 ,
于是我们证明了结论
(3)
不会证明,学了狄利克雷卷积再补。
线性筛求解:
因为
inline void sol(){ mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;++i){ if(!no[i])p[++cnt]=i,mu[i]=-1;// 质数只有一个素因子,所以 mu[i]=(-1)^1 for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=n;++j){ no[p[j]*i]=1; if(i%p[j]==0){mu[p[j]*i]=0;break;}// 有平方因子,所以 mu[i]=0 mu[p[j]*i]=-mu[i];//相比于 i , p[j]*i 多了一个 p[j] ,所以 mu[p[j]*i]=-mu[i] } } }
莫比乌斯变换:
这个直接看题吧,主要记住
经典题: 「HAOI 2011」Problem b
首先拆分可以变换为求
将其整体除以
注意到有了我们想要的
看起来好像更难求了,但是我们考虑枚举
然后数论分块可以做到
下一个,感觉没用到莫反啊: 「SPOJ 5971」LCMSUM
求
然后一看
首先尝试转化成
然后运用人类智慧 ,注意到
然后还是很难处理
所以写成:
然后一个会经常用到的
然后考虑线性筛去筛
下面这个题会涉及很多经典化简方法,P1829 [国家集训队] Crash的数字表格 / JZPTAB
求
看起来好像是上个题的进阶版,能不能用同样的方法化简呢(反正我没化出来一个可求的样子)
起手把
经过上述化简我们竟然将
其中一步和上面化简一样。
对于后面的形如
然后对于
我们可以数论分块
回到一开始的式子
还是可以数论分块,于是 时间复杂度为
如果上面的你都会了,那么下面这道题除了一个结论,别的应该比较容易, P3327 [SDOI2015] 约数个数和
首先我们知道应该把
然后又一个比较神秘的结论是:
我们来证一下:
考虑把
会了结论之后就可以直接套莫反了:
以下用
发现后面两个求和可以直接预处理,用
可以数论分块,至此我们可以
再来一个: P3312 [SDOI2014] 数表
有
其中
考虑枚举
单词询问的复杂度为
这个
考虑将询问按
二、 组合数学:
1、 排列组合:
主要介绍二项式定理相关内容,简单的排列组合未进行讲解。
二项式定理:
二项式定理与组合数关系密切,他写作:
考虑它的实际意义,每个
然后它还可以扩展到多项式上:
其中
只需要把原式展开成为组合数,然后一消便可证明。
多重集的排列数 | 多重组合数
一个集合
多重集的组合数
一个可重集
这等价于
另一个问题:还是可重集
设
易知
考虑对于每一个怎么求和怎么求,这相当于求 不同下界整数和的数目 ,即方程
我们考虑直接给每个
其中
那么最终答案为:
组合数性质:
1、
由组合意义可知
2、
将计算式展开即可得
3、
递推式,也是杨辉三角的公式
4、
二项式定理的特殊情况,即
5、
二项式定理
6、
可以将一个组合数拆开,也成为 范德蒙恒等式 。
证明:
有
7、
6的特殊形式。
8、
考虑转化一个实际意义: 选了
9、
同上,也可以用期望来证明,只需考虑期望的线性性。
10、
从
还有一种证明的方法,具体来说因为
用杨辉三角证明和上面的方法基本一样。
11、
证明通过暴力拆式子或者考虑组合意义都可得出。
12、
其中
但我不会证,run了。
二项式反演
设
如果已知
如果已知
上面已知
证明:
首先将
然后交换枚举顺序:
对于后面的求和式,设
由前面的第 5 个式子可以知道上式等价于
不得不说非常巧妙。
2、 抽屉原理
这玩意没啥,(因为我不会用)。
3、 容斥原理
定义
对于全集
证明
我们对每个元素进行考虑,对于元素
上述推到说明公式不重不漏的计算所有出现过的数 1 次,所以最后算出来是全集。
应用
容斥的公式比较简单,但应用较多。
不定方程非负整数解计数
在刚才说组合数的时候,我们已经用到了容斥来解决这个问题,即 多重集的组合数 的第二个问题,求方程
上次我们的确用容斥解决了这个题,但一般使用容斥时都会有容斥模型,我们就这道题来说说容斥模型是什么。
容斥模型
1、 首先有全集
2、 这个问题关心的变量是
3、 每个变量的属性,在这就是
那么我们要求的是
然后就和之前说的一样。
P1450 [HAOI2008] 硬币购物
其实和上面那道题基本一样,采用同样的容斥模型,只不过这次算方案数需要用背包去做。
完全子图染色(容斥逆用)
A 和 B 喜欢对图(不一定连通)进行染色,而他们的规则是,相邻的结点必须染同一种颜色。今天 A 和 B 玩游戏,对于
这题这是一眼没思路,尝试写出计算式:
rt,这个式子中
容斥模型
首先如果确定了
1、 元素为每对边
2、 属性为边
我们称满足属性
给每条边编号,然后以
将
然后逆向容斥可得
即将答案转化为了至少有一条边满足两点颜色相同的方案数,用全集减去相邻两点不同的方案数即可,所以有
从刚看这道题无从入手,到后来由计算式中的
4、 斐波那契数列
定义:
定义斐波那契数列
一些性质:
1、
首先在
证毕。
2、
还是考虑归纳,在
证毕。
3、
归纳假设我们已经证明了对于
因为
4、
也就是说 (3) 是可逆的。
还是利用 (2) 并进行归纳,首先
然后对于
5、
结合 (3) 、 (4) 感性理解一下就行了。
三、 多项式有关
1、 拉格朗日插值
2、 FFT & NTT & FWT
?、 和 whk 有关的
1、 导数
定义:
定义比较简单,就是对于一个多项式
如何求:
直接做的话就是求
基本初等函数求导公式:
(1)、
推导比较简单
(2)、
如果
注意到对于求和中第
(3)、
我们先将式子写出来:
然后咋证呢?把右边那个
为啥对?令
然后将公式代入原式,得到
然后求导时有一个重要结论是:
证明嘛,先咕咕咕,目前只会感性理解。
然后就直接上公式,将
最终得到
(4)、
和 (3) 一样。
(5)、
再次给出一个求导中的公式:
证明还是先咕了。
然后直接上推导过程吧:
设
我们看到了
于是代回原式得到:
(6)、
(5)的特殊形式。
(7)、
类似于 (5) 但较为简单的推导:
(8)、
(7) 的特殊形式
求导中的四则运算与复合函数求导
加法
减法
乘法
证明
除法
证明
令
移个项
同时给出伪证一例
证伪原因是,在分母上有
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