多校A层冲刺NOIP2024模拟赛17

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T1、 网格

首先看上去很麻烦，但是最终所有的式子都可以写成 几个数的积相加的形式，那么我们只要处理 数（拼接起来）、 数的积 以及 积的和。

那么我们维护三个变量，第一个是 $ x $ ，表示最后一个积前面所有的数和 ，第二个是 $ y $ ，表示目前的积，第三个是 z ，表示前面的数的积乘上当前的数的积。

那么 $ f_{i,j,x/y/z} $ 表示 走到 $ (i,j) $ 这个位置所有情况的 x/y/z 的和。

那么对于每一种情况：

当他遇到一个 $ + $ 时： $ x = x + y , y = 1 , z = 0 $ 。

当他遇到一个 $ * $ 时： $ y = z , z = 0 $ 。

当他遇到一个 数字 $ k $ 时： $ z = z*10 + y * k $ 。

那么实际转移时，我们只要把 $ f_{i-1,j} 和 f_{i,j-1} $ 的情况转移到 $ (i,j) $ 上加起来就行了。

但是有一个细节，当遇到 $ + $ 时，会把 $ y $ 赋值为 1 ，但是实际转移时 $ f_{i,j} $ 考虑了走到 $ (i,j) $ 的所有情况，所以 $ y $ 应该赋值为 走到 $ (i,j) $ 的情况数。

T2、 矩形

赛时水过去了，后来把自己卡了。

说正解。

首先之前打过一个一样的题，但是那个数据范围很小，直接 $ O(x^2) $ 就能做，x是一共有多少列，但是这个的 $ n $ 是 2e5。

怎么优化呢，在 $ n^2 $ 暴力里，我们是对于每一列去和别的列求交，对于所有的列求交的时间复杂度 是 $ O(n) $ 的，那么想要卡满 $ n^2 $ 就得出一些 每列的点都很少，但是列比较多，比如一条直线，然后就死了。

我们想一下暴力的本质是什么，其实对于每两列求交就是再找他们有多少个共同的二元组 $ (x,y) $ ，每一个二元组都可以有 1 的 贡献。所以对于上面点很少的列，我们可以暴力求出他们的二元组，然后记下来，直接扫过去就行。

那就是把每列分为点多的和点少的。多少算多呢，自然想到根号分治，然后就做完了。

一些细节就是在匹配二元组的时候数组存不下，所以得开 map ，unordered_map很慢，用pbds的哈希表就行。还有一种方法，我们匹配二元组时可以枚举一维，然后直接开数组记另外一维，这样就快了。

T3、 集合

不会，run了

T4、 倒水

我要推博客了： G-数据结构-G

写这道题真的会豁然开朗好几次，我昨天豁然开朗了一晚上。