多校A层冲刺NOIP2024模拟赛08

GG

T1 传送 (teleport)

签到题，但是你怎么知道我场上因为 dis[j]=bi[i].w 调了一个小时。

就是这肯定是一张完全图，但是肯定不能把所有的边都连上然后去跑dij，那么就要考虑那些边是没用的。

对于从 $ (1,2) $ 到 $ (5,4) $ ，最优的是直接通过 $ Y $ 轴转过去，但是也可以先到 $ (3,3) $ ，然后再到 $ (5,4) $ 。那么抽象到一堆点上，如果从 $ x $ 点转移到 $ y $ 点，如果通过 $ X $ 轴转过去的话，相当于在 $ X $ 轴上水平移动，那么自然也可以通过处于两者 $ X $ 坐标中间的中间点转移过来，肯定不会更劣，所以我们对于一个点 只需要连 上下左右 紧挨着的点就行了。

T2 排列 (permutation)

一眼想嫁了，然后跳了。

下次再也不跳题跳这么快了。。。

题解给的是状压，但其实可以发现这题和 $ n $ 的关系不大。

一种思路是，找出 $ [1,\frac{n}{k}] $ 的数，然后冲突一定是发生在他们乘 $ k $ 的数之间的，那么我们可以直接枚举这些数的全排，然后我们就已经知道那两个数之间会产生冲突了，为了防止他们挨在一起，就得在他们中间插数。

就像上面的数列，有 3 个位置至少要放一个数， $ n $ 已知，那怎么计数？

对于直接强制在里面插一个数，然后随便插，这样会重复。为什么会重？ 比如在 1 、 2 之间，我强制插一个 7 进去， 然后随便插的时候有可能插了一个 8 在 7 的前面， 那么这种情况也会通过 先强制插一个 8 进去，再随便插了一个 7 在他后面记上。

那么我们可以直接钦定冲突的位置的最后一个数是啥，设冲突的位置有 $ op $ 个,关键数字有 $ cnt $ 个，方案数就是 $ A_{n-cnt}^{op} $ ,或者换一种说法，我们钦定 $ op $ 个数与有冲突的地方的后一个数 绑定 了，那么之后还是有 $ cnt $ 个数，还剩下 $ n-cnt-op $ 个数没用，接下来就是他们乱插就行，方案数就是 $ \binom{n-op}{cnt} \times A_{n-cnt-op}^{n-cnt-op} $ 。

时间复杂度是 $ O ((\frac{n}{k})! \frac{n}{k}) $ 的。

但是我们可以发现其实对于每一种排列的最后的方案数只和他们的冲突个数有关，所以直接状压DP就行。

时间复杂度 $ O ( 2^{\frac{n}{k}} (\frac{n}{k})^3 ) $ 。

T3 战场模拟器 (simulator)

直接上线段树就行，对于死的人可以直接递归到叶子，因为递归时每递归到一个叶子节点，就说明多死了一个人，那么最多递归 $ n $ 次，总共是 $ O(n log(n)) $ 的。对于盾牌操作，因为每次只给一个人上盾，那就直接用一个 set 维护 盾牌，对于一次伤害，直接暴力扫区间内有哪些人有盾牌，然后给他们提前加上本次减的血，最多 $ q $ 个盾牌 ，总共 $ O (q log(n)) $ 的。

总之时间复杂度是单 log 的。

T4 会不了一点，还是学会别的吧。

闲话：

今天T1写dij时把 dis[j]=dis[x]+bi[i].w 写成了 dis[j]=bi[i].w，调了一个小时，望周知。