CSP模拟10--总结

今天是我第一次给模拟赛写正规总结--因为今天的题真的受不了了

四道数学题，一点都不拖泥带水的纯血数学题！

T1、黑暗型高松灯

shit

本来是一道放在T4防AK的题，结果学长为了 恶心 锻炼一下我们，直接将T1和T4swap了一下.
一开始看了半个小时挺懵逼的，然后跳了，但心里一直觉得这题能做（起码得拿点暴力分吧），记过后来又跳回来搞了两个小时，但还是啥都没推出来，还耽误了切T2。$GG$。

T2、速度型高松灯

$$\mathrm{本}\mathrm{场}\mathrm{考}\mathrm{试}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{的}\mathrm{遗}\mathrm{憾}$$

首先一眼有暴力递推式：

$$f_i={10}^k{f}_{i-1}+i$$

是一个n很huge的线性递推，本应该一眼想到矩阵快速幂加速，但是只是在脑子里过了一下，感觉好像行，但是又很不熟悉矩阵快速幂咋打的来着，打了两下，又想起来T1，又想到这是数学专场，是不是别的做法？

总之在不熟悉知识点与不自信的双重影响下，只打了暴力，又跳了。

T4、高松灯

签到题，但我还是挂了10分。
打了个数位DP，结果中间变量写错了，竟然还能有90分。今天状态很差呀。

T3、速度型高松灯

瞪眼莫反，但是考场上根本不会。
恶补莫反。

顺便导一下柿子：

首先替换$gc{d}_{i,j}$

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^{k}f(d)d\\ =& \sum _{d=1}^n{\mu }^2(d)d\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^k[gcd(i,j)=d]\\ =& \sum _{d=1}^n{\mu }^2(d)d^{k+1}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }(i+j{)}^k[gcd(i,j)=1]\\ =& \sum _{d=1}^n{\mu }^2(d)d^{k+1}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }(i+j{)}^k\sum _{e|gcd(i,j)}\mu (e)\\ =& \sum _{d=1}^n{\mu }^2(d)d^{k+1}\sum _{e=1}^n\mu (e)e^k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{ed}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{ed}\rfloor }(i+j{)}^k\end{array}$$ d与e无关，先把$\sum$合并起来变成了： $$\sum _{d=1}^n\sum _{e=1}^n{e}^k{d}^{k+1}\mu (e){\mu }^2(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{ed}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{ed}\rfloor }(i+j{)}^k$$

设T=ed，S(x)=$\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^x(i+j{)}^k$,我们继续尝试把T提到前面来，变成了：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{d=1}^n\sum _{e=1}^n{T}^{k}S(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )d\mu (\frac{T}{d}){\mu }^2(d)\\ =& \sum _{T=1}^n{T}^{k}S(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )\sum _{d|T}d\mu (\frac{T}{d}){\mu }^2(d)\end{array}$$

也算是会导一点点的柿子了吧。

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$$END$$