第三章--网络基本拓扑性质(复杂网络学习笔记)

第三章--网络基本拓扑性质(复杂网络学习笔记)

节点的度和平均度

• 度: \(节点i的度k指的是与节点i直接相连的边的个数\)
• 出度: 节点\(i\)指向其他节点的边数
• 入度: 其他节点指向节点\(i\)的边数
• 平均度: 网络中所有节点的度的平均值
• \(k_i\): 节点i的度
• \(<k>\): 网络的平均度

如果是加权网络G, 那么节点的度经过加权可以定义为出强度和入强度

网络稀疏性和稠密化

• 网络的密度: 一个包含\(N\)个节点的网络的密度\(\rho\)定义为网络中实际存在的边数\(M\)与最大可能的边数之比,即

\[\rho=\frac{M}{\frac{1}{2}N(N-1)} \]

对于有向网路, 上式中的1/2去掉即可.

如果当N趋于无穷大并且网络密度是一个常数,则表明实际是网络边数与\(N^2\)是同阶的, 那么则说该网络是稠密的.

• 平均度: \(<k>=\frac{2M}{N}\)
• 密度 : \(\rho = \frac{M}{\frac{1}{2}N(N-1)}\)
• 平均度和密度的关系: \(<k>=(N-1)\rho \approx N\rho\)

平均路径长度和直径

平均路径长度

• 最短路径: 网络中两个节点之间的边数最少的路径称为最短路径
• 距离\(d_{ij}\): 定义为节点i,j的最短路径的边数.
• 平均路径长度\(L\): 定义为网络中任意两个节点距离的平均值

\[L=\frac{1}{\frac{1}{2}N(N-1)}\sum_{i>=j}d_{ij} \]

网络直径

• 网络直径D: 定义为网络中任意两个节点距离的最大值

\[D=max(d_{ij}) \]

实际上,我们可能更关心的是网络中绝大部分用户对之间的距离,因此先给出以下定义:

• \(f(d)\): 统计网络中距离等于\(d\)的连通的节点对占整个网络中连通的节点对的比例
• \(g(d\)): 统计网络中距离不超过\(d\)的连通的节点对占整个网络中连通的节点对的比例

一般的, 如果直径\(D\)满足

\[g(D-1)<0.9, g(D)\ge0.9 \]

那么就称D为该网络的有效直径.

最短路径算法

• Dijkstra算法: 一般用于求加权有向网路(权值为非负)中的节点之间最短路径
• bellman-ford算法: 用于存在权值为负的情况

聚类系数(clustering coefficient)

• 某个节点的聚类系数刻画了该节点的邻居节点中任意一对节点,有连边的概率.

\[C_i=某个点的聚类系数=\frac{该点的邻居节点之间实际存在的边数}{这些邻居节点可能存在的最大的边数} \]

\[C_i=\frac{E_i}{k_i(k_i-1)/2}=\frac{2E_i}{k_i(k_i-1)} \]

其中

• \(E_i\) : 该点的邻居节点之间实际存在的边数
• $ k_i(k_i-1)/2$ : 这些邻居节点可能存在的最大的边数

度分布(degree distribution)

有连接才会有网络, 我们自然关心网络中节点的度的分布情况.

高斯分布(正太分布/钟型分布)

正太分布是针对连续性随机变量而言, 其对应的离散型随机变量,最常见的是泊松分布(poisson distribution)

\[P(k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

幂律分布(长尾分布/无标度分布)

幂律分布及其检验, 性质

用时再查阅资料.