Hermite矩阵学习笔记

关于Hermite矩阵的惯性定理论文的解读
实矩阵与实二次型是本科阶段高等代数中最后一个章节的内容中出现的知识点，而相对应的在本科的学习中并没有太过深究将矩阵的元素从实数域拓展到复数域，而复方阵中，由于复数的特殊性，比如共轭，虚数的存在，很难有一个统一的体系，第一个切入点就是考虑到复对称矩阵。
而复方阵中能够与实对称矩阵相对应的则是Hermite矩阵，相应意味着它们的性质，作用等有许多雷同之处。

【定理 1】 任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型，且规范型唯一。

这里主要证明唯一性。

设实二次型\(f(x_1,\dots,x_n)\)的秩为r,经过非退化线性替换\(X=BY\)和\(X=CZ\)分别化成规范型：（这个证明写的好恶心呀，我觉得写的好丑，好臭）

\[f(X)=y^2_1+\dots+y^2_p-y_{p+1}^2-\dots-y_r^2 \qquad f(X)=z^2_1+\dots+z^2_q-z_{q+1}^2-\dots-z_r^2 \]

下证\(p=q\).利用反证法。设\(p>q\),由假设有

\[f(X)=y_1^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_r^2=z_{1}^2+\dots+z_q^2-z_{q+1}^2-\dots-z_r^2 \]

设\(U=(y_1,\dots,y_p,z_{q+1},\dots,z_r),W=(z_1,\dots,z_q,y_{p+1},\dots,y_r)\),

若向量\(U\)、\(W\)中一个为0，另一个不为0，则式(1)为矛盾式。

当\(U=0\)或\(W=0\)时为关于\(x_1,\dots,x_n\)的n元一次齐次线性方程组；

\(U=0\)时方程个数为\(p+r-q>r\),不一定有非零解;\(W=0\)时方程个数为\(q+r-p<r \leqslant n,\)一定有非零解，仍记为\(X\)。

取\(W=0\),将非零解\(X\)带入得\(Y=B^{-1}X \not=0,Z=C^{-1}X \not=0\),则:

1)\(Y=(y_1,\dots,y_p,y_{p+1},\dots,y_r,y_{r+1},\dots,y_n)=(y_1,\dots,y_p,0,\dots,0,y_{r+1},\dots,y_n) \not=0\)

当\((y_{r+1},\dots,y_n)=0\)时，\((y_1,\dots,y_p)\)一定不为0，则\(U=(y_1,\dots,y_p,z_{q+1},\dots,z_r) \not=0\)

2)$Z=(z_1,\dots,z_q,z_{q+1},\dots,z_r,z_{r+1},\dots,z_n)=(0,\dots,0,z_{q+1},\dots,z_r,z_{r+1},\dots,z_n) \not=0 $

当\((z_{r+1},\dots,z_n)=0\)时，\((z_{q+1},\dots,z_r)\)一定不为0，则\(U=(y_1,\dots,y_p,z_{q+1},\dots,z_r) \not=0\)

将\(W=0\)改为：

\(W^0=(z_1,\dots,z_q,y_{p+1},\dots,y_r,y_{r+1},\dots,y_n)=0\)

或：

\(W^0=(z_1,\dots,z_q,y_{p+1},\dots,y_r,z_{r+1},\dots,z_n)=0\)

\(W^0\)中方程个数均为\(q+n-p<n\),方程有非零解，仍记为\(X\),满足\(W=0,U \not=0\),得矛盾，则：

\(p \leqslant q\)

同理可证：

\(p \geqslant q\)

从而证明了规范型的唯一性。

【应用 1】 设实二次型\(f(x_1,\dots,x_n)=l_1^2+\dots+l_p^2-l_{p+1}^2-\dots-l_{p+q}^2,\)其中，\(l_i(i=1,\dots,p+q)\)是\(x_1,\dots,x_n\)的一次齐次式，证明：\(f(x_1,\dots,x_n)\)的正惯性指数$ \leqslant p$,负惯性指数 \(\leqslant q\)。

设实二次型\(f(x_1,\dots,x_n)\)经过非退化线性替换\(X=BY\)化成规范型；

\[f(X)=y_1^2+\dots+y_s^2-y_{n+1}^2-\dots-y_{s+t}^2 \]

则正惯性指数为\(s\),负惯性指数为\(t\)，即证\(s \leqslant p, t \leqslant q\).
下证负惯性指数\(t \leqslant q\).利用反证法(与惯性定理类似)

设\(t > q\),由假设有:

\[f(X)=l_1^2+\dots+l_p^2-l_{p+1}^2-\dots-l_{p+q}^2=y_1^2+\dots+y_s^2-y_{s+1}^2-\dots-y_{s+t}^2, \]

设\(U=(l_1,\dots,l_p,y_{s+1},\dots,y_{s+t}),W=(y_1,\dots,y_x,l_{p+1},\dots,l_{p+q}),\)若向量\(U,W\)中一个为 \(0\),另一个不为 \(0\),则式(2)为矛盾式。当\(U=0\)或\(W=0\)时为关于\(x_1,\dots,x_n\)的\(n\)元一次一次齐次线性方程组；\(U=0\)时方程个数为\(p+t > p+q\),不一定有非零解；\(W=0\)时方程个数为\(s+q < s+t \leqslant n\),一定有非零解，仍记为\(X\)，则取\(W=0\),将非零解带入的\(Y=B^{-1}X \not=0\)(而\(l_1,\dots,l_p,l_{p+1},\dots,l_{p+q}\)可以为\(0\),也可以不为\(0\)),要使\(U\not=0\)；

\[Y=(y_1,\dots,y_s,y_{s+1},\dots,y_{s+t},y_{s+t+1},\dots,y_n)=(0,\dots,0,y_{s+1},\dots,y_{s+t+1},\dots,y_n)\not=0 \]

则当\((y_{s+t+1},\dots,y_n)=0\)时,\((y_{s+1},\dots,y_{s+t})\)一定不为\(0\)，则：

\[U=(l_{1},\dots,l_p,y_{s+t},\dots,y_{s+t}) \not=0 \]

取：

\[W^0=(y_1,\dots,y_s,l_{p+1},\dots,l_{p+q},y_{s+t+1},\dots,y_n)=0 \]

\(W^0\)中方程个数为\(s+q+n-(s+t)=n-t+q < n\),仍满足方程有非零解仍记为\(X\),满足\(W=0\)而\(U\not=0,\)得矛盾，则\(t \leqslant q\).

同理可得\(s \leqslant p\)。

则\(f(x_1,\dots,x_n)\)的正惯性指数 \(\leqslant p\),负惯性指数 \(\leqslant q\)。

注：此处\(W^0\)中添加的项只能是\((y_{s+t+1},\dots,y_n)\),而不能是\((l_{p+q+1},\dots,l_{n})\),因为\(l_i(i=1,\dots,p+q)\)只是\(x_1,\dots,x_n\)的一次齐次式，\(X \not=0,L=(l_1,\dots,l_n)\)可以为\(0\)。

【应用 2】 设\(n\)元实二次型\(f(X)=X^{T}AX,g(Y)=Y^{T}BY\),若存在矩阵\(C,D \in R^{n \times n}\)使得\(C^{T}AC=B,D^{T}BD=A\),证明：\(f(X)\)与\(g(Y)\)有相同的规范型。

若\(C,D\)有一个可逆，则\(A,B\)合同，则有相同的规范型。设\(C,D\)不可逆\(f(x_1,\dots,x_n)\)经过非退化线性替换\(X=WZ\)化为规范型：

\[f(X)=z^2_{1}+\dots+z^2_{p}-z^2_{p+1}-z^2_{p+q} \]

则\(f(x_1,\dots,x_n)\)的正惯性指数\(=p\),负惯性指数\(=q\)。从而：

\[W^TAW=\left(\begin{array}{lll} E_p & & \\ & -E_p &\\ & & 0 \end{array}\right) \]

记\(H=\left(\begin{array}{lll} E_p & & \\ & -E_p &\\ & & 0 \end{array}\right)\),有\(A=(W^{-1})^THW^{-1}\),从而：

\[g(Y)=Y^TBY=Y^TC^TACY=Y^TC^T(W^{-1})^THW^{-1}CY=(W^{-1}CY)^{T}H(W^{-1}CY) \]

取\(G=(W^{-1}C)Y\),则：

\[g(Y)=g^{2}_{1}+\dots+g^{2}_{p}-g^{2}_{p+1}-\dots-g^{2}_{p+q} \]

其中，\(g_i(i=1,\dots,n)\)是\(x_1,\dots,x_n\)的一次齐次式，由应用1，则\(g(Y)\)的正惯性指数\(\leqslant p\),负惯性指数\(\geqslant q\)。

由\(f(X)\)与\(g(Y)\)的对称性，同理可证\(f(X)\)的正惯性指数\(\leqslant g(Y)\)的正惯性指数，\(f(X)\)负惯性指数\(\leqslant g(Y)\)的负惯性指数。则\(f(X)\)与\(g(Y)\)由相同的正负惯性指数，即有相同的规范型。