[省选联考 2021 A/B 卷]宝石
（〇）考场上的一些ideas
其实这部分已经是正解了。
第一档部分分：
开考5min：
一个很显然的暴力：对于每次询问都从 \(u\) 找到 \(v\)， 25ptsgets。
时间复杂度\(\Theta(nq)\)
第二档部分分（\(m \leq 300\)）：
开考10min:
首先一个处理树上路径问题的套路：将 \((u,v)\) 拆成 \((u, lca)\)， \((lca, v)\)
对于每一个节点，假设当前节点的颜色在排列中是第 \(i\) 个。
考虑用 \(f(i, j)=x\) 表示 \(i\) 沿着父边向上走遇到了连续 \(j\) 个排列的末端节点是 \(x\)。
对于每个节点的 \(f\) 都可以 \(\Theta(m)\) 暴力求解（每个节点都一步步向上跳，记录当前遇到了连续多少个排列）。
注意： 由于路径 \((u, lca)\) 与路径 \((lca, v)\) 在树上的方向是相反的（一个向根走， 另一个向叶子走）， 因此需要处理 \(f_1\) 和 \(f_2\) 分别表示向上走或者向下走。
对于每个询问， 可以树剖查询，然后二分查找最长路径。
时间复杂度：\(\Theta(nm+q\log n\log m)\)
第三档部分分 （\(u_i=i,v_i=i+1\)）：
开考30min：
这是链的情况， 只需要考虑序列上如何做。
由于第二档部分分 \(m\leq 300\) 给我们的启示， 我们可以用 \(f(i, j)=x\) 记录第 \(i\) 个位置的后连续 \(j\) 个排列末端所在的位置是 \(x\)。
但是，由于\(m\leq 2\times 10^5\)， 开不下那么大的空间。
受到第二档部分分的启发， 可以考虑分块[1]。（通俗的说，就是用时间换空间）
既然我无法把后面的连续 \(m\) 个排列的位置全部记下来， 那我就只记后面连续的 \(\sqrt m\) 个排列的位置。
每次查询， 都尽可能的往最远处跳， 最多只用跳 \(\sqrt m\) 次。
这样一来， 就的到了一个十分“优秀”的算法。
时间复杂度： \(\Theta (n\sqrt m+q\sqrt m)\)
第四档部分分（正解）：
开考45min：
实际上，只需要将以上两档部分分结合起来就是正解了。
正解包含了两档部分分中最麻烦的部分。
众所周知， 树剖就是将树上的问题转化为序列上的问题。
既然可以序列上对颜色分块， 那么是否也可以在树上对颜色分块呢？ 答案是肯定的。
具体实现只需要用树剖将询问转化为序列上一段段的区间， 然后再套用序列上问题的做法即可。（注意同样要维护树上向上或是向下的路径）
时间复杂度：\(\Theta(n\sqrt m+q\sqrt m\log n)\)
接下来是我牢骚时刻， 建议跳过
咦， t1 just this? 于是再写正解的路上狂奔。
开考1h：
正解怎么这么难写呀！(coding...)
开考1.5h：
怎么细节这么多呀！！（debugging...）
开考2h：
终于调对了， 测 \(gem2.in\)， 嗯， 找不到差异。
测 \(gem3.in\)， ****， 怎么爆栈了， 怎么开栈（无能狂怒）
问监考员， 监考员：我好久没用 windows 了。（我也不知道怎么开栈）
此时 Godのfather 不知道， 他将存颜色的数组开小了， 这是他噩梦的开始。
考场代码分数：
更改数组大小后分数（由于考场上不知所措， 时间复杂度也写假了）：
（一）关于正解
也许调整一下块长分块就能过了呢？
事实上， 我们并不需要分块（来自一名被 \(m\leq 300\) 误导， 认为是分块的菜鸡）。
倍增可以达到分块同样的效果。（并且常数更小， 代码更短）
（此时已经通过树剖将树上的问题转化为了序列上的问题）具体做法是， \(f(i, j)=x\) 表示位置 \(i\) 后连续 \(2^j\) 个排列的位置是 \(x\) 。
至于查询， 类似于倍增法求 \(lca\) ， 先跳大步， 再跳小步逼近。
时间复杂度降到了：\(\Theta(n\log m+q\log m\log n)\)
code（分块）：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int w = 0, f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' or ch > '9') {if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
while(ch >= '0' and ch <= '9') w = w*10 + ch - '0', ch = getchar();
return w*f;
}
const int maxm = 5e4 + 5, maxn = 2e5 + 5;
int N, M, c, P[maxn], w[maxn], head[maxn], Next[maxn<<1], ver[maxn<<1], tot, p[maxm], blen;
void add(int x, int y){
ver[++tot] = y, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
}
int d[maxn], f[maxn], son[maxn], siz[maxn], top[maxn], id[maxn], cnt;
pair<int, int> nw[maxn];
int nxt[maxn][305][2], num, len[maxn][2];
vector<int> col[maxm];
struct node{
int l, r; bool res;
}ask[1005];
void dfs1(int x, int fa){
f[x] = fa, siz[x] = 1, d[x] = d[fa] + 1;
for(int i=head[x]; i; i=Next[i]){
int y = ver[i];
if(y == fa) continue;
dfs1(y, x);
siz[x] += siz[y];
if(siz[y] > siz[son[x]]) son[x] = y;
}
}
void dfs2(int x, int TOP){
top[x] = TOP, id[x] = ++cnt;
if(!son[x]) return ;
dfs2(son[x], TOP);
for(int i=head[x]; i; i=Next[i]){
int y = ver[i];
if(y == f[x] or y == son[x]) continue;
dfs2(y, y);
}
}
int lca(int x, int y){
while(top[x] != top[y]){
if(d[top[x]] < d[top[y]]) swap(x, y);
x = f[top[x]];
}
if(d[x] > d[y]) swap(x, y);
return x;
}
void get_up(int x, int y){
while(top[x] != top[y]){
ask[++num] = (node){id[top[x]], id[x], 1};
x = f[top[x]];
}
if(id[y] != id[x]) ask[++num] = (node){id[y], id[x], 1};
}
void get_down(int x, int y){
int s = num;
while(top[x] != top[y]){
ask[++num] = (node){id[top[x]], id[x], 0};
x = f[top[x]];
}
ask[++num] = (node){id[y], id[x], 0};
for(int i=1; i<=(num-s)/2; i++){
swap(ask[s+i], ask[num-i+1]);
}
}
int Find1(int x, int l){//这是我考场上时间复杂度写假的部分, 多了1个log
if(x < l or x == 0) return 0;
int L = 0, R = len[x][1];
while(L <= R){
int mid = (L+R)>>1;
if(nxt[x][mid][1] >= l) L = mid + 1;
else R = mid-1;
}
int sum = R;
if(R != 0) sum += Find1(nxt[x][R][1], l);
return sum;
}
int Find2(int x, int r){//同上
if(x > r or x == 0) return 0;
int L = 0, R = len[x][0];
while(L <= R){
int mid = (L+R)>>1;
if(nxt[x][mid][0] <= r) L = mid + 1;
else R = mid - 1;
}
int sum = R;
if(R != 0) sum += Find2(nxt[x][R][0], r);
return sum;
}
int main(){
N = read(), M = read(), c = read();
for(int i=1; i<=M; i++) P[i] = read(), p[P[i]] = i;
for(int i=1; i<=N; i++) w[i] = read();
for(int i=1; i<N; i++){
int x = read(), y = read();
add(x, y), add(y, x);
}
dfs1(1, 0);//树剖
dfs2(1, 1);
for(int i=1; i<=N; i++) nw[i] = make_pair(id[i], w[i]);
sort(nw+1, nw+N+1); //树上问题转序列上问题（根据dfs序)
blen = 300;//块长
for(int i=1; i<=N; i++) col[nw[i].second].push_back(nw[i].first);
for(int i=1; i<=N; i++){//分块：向下的路径
nxt[i][0][0] = i;
int s = p[nw[i].second];
for(int j=1; j<=min(blen, M); j++){
vector<int>::iterator it = lower_bound(col[P[s+j]].begin(), col[P[s+j]].end(), nxt[i][j-1][0]);
if(it != col[P[s+j]].end()) nxt[i][j][0] = *it, len[i][0] = j;
else break;
}
}
for(int i=N; i>=1; i--){//分块： 向上的路径
nxt[i][0][1] = i;
int s = p[nw[i].second];
for(int j=1; j<=min(blen, M); j++){
vector<int>::iterator it = lower_bound(col[P[s+j]].begin(), col[P[s+j]].end(), nxt[i][j-1][1]);
if(it != col[P[s+j]].begin()) nxt[i][j][1] = *(--it), len[i][1] = j;
else break;
}
}
int q = read();
while(q--){
int u = read(), v = read();
int LCA = lca(u, v);
num = 0;
get_up(u, LCA);//记录路径上划分出来的区间
get_down(v, LCA);
int cnt = 1;
for(int i=1; i<=num; i++){
if(cnt == M+1) break;
int l = ask[i].l, r = ask[i].r; bool res = ask[i].res;
if(res){//判断该区间在树上是向上还是向下
vector<int>::iterator it = upper_bound(col[P[cnt]].begin(), col[P[cnt]].end(), r);
if(it == col[P[cnt]].begin()) continue;
int s = *(--it);
if(s < l) continue;
cnt += Find1(s, l) + 1;
}
else{
vector<int>::iterator it = lower_bound(col[P[cnt]].begin(), col[P[cnt]].end(), l);
if(it == col[P[cnt]].end()) continue;
int s = *it;
if(s > r) continue;
cnt += Find2(s, r) + 1;
}
}
printf("%d\n", cnt - 1);
}
return 0;
}
code(倍增)（只改动了一点）：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int w = 0, f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' or ch > '9') {if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
while(ch >= '0' and ch <= '9') w = w*10 + ch - '0', ch = getchar();
return w*f;
}
const int maxm = 5e4 + 5, maxn = 2e5 + 5;
int N, M, c, P[maxn], w[maxn], head[maxn], Next[maxn<<1], ver[maxn<<1], tot, p[maxm], blen;
void add(int x, int y){
ver[++tot] = y, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
}
int d[maxn], f[maxn], son[maxn], siz[maxn], top[maxn], id[maxn], cnt;
pair<int, int> nw[maxn];
int nxt[maxn][20][2], num, len[maxn][2];
vector<int> col[maxm];
struct node{
int l, r; bool res;
}ask[100005];
void dfs1(int x, int fa){
f[x] = fa, siz[x] = 1, d[x] = d[fa] + 1;
for(int i=head[x]; i; i=Next[i]){
int y = ver[i];
if(y == fa) continue;
dfs1(y, x);
siz[x] += siz[y];
if(siz[y] > siz[son[x]]) son[x] = y;
}
}
void dfs2(int x, int TOP){
top[x] = TOP, id[x] = ++cnt;
if(!son[x]) return ;
dfs2(son[x], TOP);
for(int i=head[x]; i; i=Next[i]){
int y = ver[i];
if(y == f[x] or y == son[x]) continue;
dfs2(y, y);
}
}
int lca(int x, int y){
while(top[x] != top[y]){
if(d[top[x]] < d[top[y]]) swap(x, y);
x = f[top[x]];
}
if(d[x] > d[y]) swap(x, y);
return x;
}
void get_up(int x, int y){
while(top[x] != top[y]){
ask[++num] = (node){id[top[x]], id[x], 1};
x = f[top[x]];
}
if(id[y] != id[x]) ask[++num] = (node){id[y], id[x], 1};
}
void get_down(int x, int y){
int s = num;
while(top[x] != top[y]){
ask[++num] = (node){id[top[x]], id[x], 0};
x = f[top[x]];
}
ask[++num] = (node){id[y], id[x], 0};
for(int i=1; i<=(num-s)/2; i++){
swap(ask[s+i], ask[num-i+1]);
}
}
int Find1(int x, int l){// 改动： 倍增先跳大步， 再跳小步
int sum = 0;
for(int i=15; i>=0; i--){
if(nxt[x][i][1] == 0) continue;
if(nxt[x][i][1] >= l){
x = nxt[x][i][1];
sum += (1<<i);
}
}
return sum;
}
int Find2(int x, int r){//同上
int sum = 0;
for(int i=15; i>=0; i--){
if(nxt[x][i][0] == 0) continue;
if(nxt[x][i][0] <= r){
x = nxt[x][i][0];
sum += (1<<i);
}
}
return sum;
}
int main(){
N = read(), M = read(), c = read();
for(int i=1; i<=M; i++) P[i] = read(), p[P[i]] = i;
for(int i=1; i<=N; i++) w[i] = read();
for(int i=1; i<N; i++){
int x = read(), y = read();
add(x, y), add(y, x);
}
dfs1(1, 0);
dfs2(1, 1);
for(int i=1; i<=N; i++) nw[i] = make_pair(id[i], w[i]);
sort(nw+1, nw+N+1);
for(int i=1; i<=N; i++) col[nw[i].second].push_back(nw[i].first);
for(int i=N; i>=1; i--){//改动： 换成了倍增
int s = p[nw[i].second];
vector<int>::iterator it = upper_bound(col[P[s+1]].begin(), col[P[s+1]].end(), i);
if(it != col[P[s+1]].end()){
nxt[i][0][0] = *it;
for(int j=1; j<=15; j++) nxt[i][j][0] = nxt[nxt[i][j-1][0]][j-1][0];
}
}
for(int i=1; i<=N; i++){
int s = p[nw[i].second];
vector<int>::iterator it = upper_bound(col[P[s+1]].begin(), col[P[s+1]].end(), i);
if(it != col[P[s+1]].begin()){
nxt[i][0][1] = *(--it);
for(int j=1; j<=15; j++) nxt[i][j][1] = nxt[nxt[i][j-1][1]][j-1][1];
}
}
int q = read();
while(q--){
int u = read(), v = read();
int LCA = lca(u, v);
num = 0;
get_up(u, LCA);
get_down(v, LCA);
int cnt = 1;
for(int i=1; i<=num; i++){
if(cnt == M+1) break;
int l = ask[i].l, r = ask[i].r; bool res = ask[i].res;
if(res){
vector<int>::iterator it = upper_bound(col[P[cnt]].begin(), col[P[cnt]].end(), r);
if(it == col[P[cnt]].begin()) continue;
int s = *(--it);
if(s < l) continue;
cnt += Find1(s, l) + 1;
}
else{
vector<int>::iterator it = lower_bound(col[P[cnt]].begin(), col[P[cnt]].end(), l);
if(it == col[P[cnt]].end()) continue;
int s = *it;
if(s > r) continue;
cnt += Find2(s, r) + 1;
}
}
printf("%d\n", cnt - 1);
}
return 0;
}
(三)结束语
GDOI 2021就这样草草结束了。 离别是如此突然。
zhendelan 发挥较为正常（day1有较大的失误）， 但最终还是与省队失之交臂。
MCAdam Day1挂了很多分， 与预期相差许多。
总而言之， 希望两位学长能够在文化课上披荆斩棘， 弥补未能进队的遗憾吧。
还有学姐 lrw04,学长 Conless,
没有你们， 也就没有我一年来在 ss 学习 OI 的美好时光。
无论接下来是走是留，
无论她带给了我多少泪水，
我从未后悔。
--END--
实际上，可以通过倍增达到 \(\Theta(\log m)\) 的复杂度， 后文会具体阐述。 ↩︎
