概率论笔记（一）——概率的基本概念、事件的运算、古典概型、几何概型

随机事件与概率

随机试验、随机事件、样本空间（本质是基本事件的集合）

随机试验

在相同条件下对某随机现象进行的大量重复观测。

1. 可重复性：试验在相同条件下可重复进行；
2. 可知性：每次试验的可能结果不止一个，并且事先能明确试验所有可能的结果；
3. 不确定性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现，但必然会出现结果中的一个。

随机事件和样本空间

在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)，分为简单事件和复合事件。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作\(\omega_i\)。全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作\(Ω\)．即\(Ω=\{ω_1，ω_2，…，ω_n，…\}\)。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件，含有多个样本点的随机事件称为复合事件。

样本空间是针对某个特定的随机试验而言的。

事件的运算

和运算和积运算

1. 事件A与B的并(和)，记为\(A\cup B\)。其含义为“由事件A与B中所有的样本点(相同的只计入一次)组成的新事件”，或用概率论的语言描述：“事件A发生或者事件B发生”或“事件A与B中至少有一个发生”。
2. 事件A与B的交(积)，事件A和B同时发生。A和B的乘积，记为A\(\cap\) B。

对立事件

有且仅有一个事件发生。若A\(\cup\)B=\(\Omega\)且AB=\(\emptyset\)，记为A=\(\overline B\)。根据德摩根律可得：

\[\overline\bigcup\limits_{n=1}A_i=\bigcap\limits_{i=1}\overline {A_k}\\ \overline\bigcap\limits_{n=1}A_i=\bigcup\limits_{i=1}\overline {A_k} \]

互不相容的事件

A和B互不相容：\(A,B\in E;AB=\empty\)

两两互不相容的一组事件叫做一组互不相容的事件组。

差运算

A发生而B不发生，称A为B的差，记为A-B，当然也可以表示为\(A\overline B\)。

一些改写规则：

• 若A\(\sub\)B，则A-B=\(\empty\)
• A-B=A-AB
• A=AE=A(B\(\cup\)\(\overline B\))=AB\(\cup\)A\(\overline B\)
• A\(\cup\)B=A\(\cup\)(B\(\overline A\))=B\(\cup\)(A\(\overline B\))

运算规律

1. 等幂律

   \[A \cap A =A\\ A \cup A =A \]

2. 结合律

\[A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\\ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\\ (A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)\\ \]

3. 交换律

   \[A \cup B = B \cup A\\ A \cap B = B \cap A\\ A \oplus B = B \oplus A\\ \]

4. 分配律

   \[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \]

5. 同一律

   \[A \cap E =A\\ A \cup \empty = A\\ A - \empty = A\\ A \oplus \empty = A \]

6. 零律

   \[A \cap \empty = \empty\\ A \cup E = E \]

7. 补余律

   \[A \cap \sim A = \empty\\ A \cup \sim A = E \]

8. 吸收律

   \[A \cup (A \cap B) = A\\ A \cap (A \cup B) =A \]

9. 德.摩根律

   \[A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)\\ A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)\\ \sim(A \cup B) = \sim A \cap \sim B\\ \sim(A \cap B) = \sim A \cup \sim B\\ \sim \empty = E\\ \sim E = \empty \]

10. 双重否定律

    \[\sim \sim A = A \]

概率

概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。

【非负性\(P(A)\ge0\)，规范性\(P(\Omega)=1\)，可列可加性(互不相容的事件之和的概率等于其概率之和)】

概率空间：(\(\Omega, F,P\))。

\(\Omega\)：样本空间，简单事件的集合。

\(F\)：时间域，所有事件的集合。

\(P\)：集合函数，事件的概率。

古典概率

去除掉了需要重复n次的大量试验。

1. 样本空间的元素是有限个。
2. 每个基本事件的可能性相同。

设试验E只有n个基本事件，事件A由m个基本事件复合而成。

则有

\[P(A)\triangleq \frac{m}{n} \]

模型1：分房模型

若n只球随机地放入N(N≥n)个盒子中去，求下列的概率：

1. 某指定的n个盒子里各有一个球

2. 每个盒子中至多有一个球

3. 某指定的一个盒子中恰有m(≤n)个球

解题思路：符号化事件，判断问题所属类型（古概/几概），选用对应问题的模型来解题。为了避免混淆，宜采用排列代替组合。

1. 令A为事件“某指定的n个盒子里各有一个球”，由于是古典概型，找到A对应的事件个数a，找到总事件个数b，利用公式

   \[P(A)=\frac ab \]

   即可。

   总事件个数\(b=N^n\)，表示每个小球都有N种选择，共有n个小球。

   事件A的个数\(a=A_n^n=n!\)，表示在已经选定的n个盒子里小球进行全排列。则\(P(A)=\frac{n!}{N^n}\)

2. 令B为事件“每个盒子中至多有一个球”，与第一问的区别在于需要自己去选择n个盒子，然后再给它们全排列丢进去，差距就是\(C_N^n\)，因此\(P(B)=\frac{C_N^nn!}{N^n}\)

3. 令C为事件“某指定的一个盒子中恰有m(≤n)个球”，事件总数为\(C_n^m(N-1)^{n-m}\)，因此\(P(C)=\frac{C_n^m(N-1)^{n-m}}{N^n}\)

做完题后要分析结论，通过改写概率表达式的形式获得新的理解。

\(P(C)=\frac{C_n^m(N-1)^{n-m}}{N^n}=C_n^m(\frac 1N)^m(\frac{N-1}{N})^{n-m}\)

几何概率

几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率。定义与古概类似，区别就是样本空间变为了有限区域，样本点仍均匀分布。

模型1：甲、乙两人相约在0到T时间段内约会，先到的人经过t(<T)后离开，则会面的概率：

设x和y分别为甲、乙到达的时间。

\[\Omega=\{{(x,y)}|0\le x,y\le T\}\\ |x-y|\le t \]

设A为会面，则\(P(A)=\frac{L(A)}{L(\Omega)}=\frac{T^2-(T-t)^2}{T^2}\)

概率运算的公式

1. 加法公式——多个事件和的概率：

\[P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=s_1-s_2+s_3-s_4+s_5-\cdots+(-1)^{n-1}s_n\\ 其中的s_k=\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}P(A_{i_1}\cdots A_{i_k}) \]

例如：

\[P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) \]

例题：n封信扔进n个邮筒，每封信投入与之编号相同的邮筒里才算正确，问至少有一封信正确的概率是多少：

设至少有一封信正确为事件B，\(A_i\)表示第i封信正确投入第i个邮筒。

\[P(B)=P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=s_1-s_2+s_3-s_4+s_5-\cdots+(-1)^{n-1}s_n \]

\(P(A_1)\)表示第1封信正确投对的概率，

\[\begin{align*} &P(A_1)=\frac{1(n-1)!}{n!}=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac 1n\\ &s_1=n\times P(A_1)=1 \end{align*} \]

\(P(A_1A_2)\)表示第1、2封信正确投对的概率，

\[\begin{align*} &P(A_1A_2)=\frac{11(n-2)!}{n!}=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}\\ &s_2=C_n^2P(A_1A_2)=\frac{C_n^2}{n(n-1)}=\frac{1}{2!} \end{align*} \]

依次类推，得到\(s_k=\frac{1}{k!}\)，代入P(B)：

\[\begin{align*} P(B)=&s_1-s_2+s_3-s_4+s_5-\cdots+(-1)^{n-1}s_n\\ =&1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n!}\\ =&\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\frac{1}{i!}\\ =&-\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}\\ =&1-\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!} \end{align*} \]

由于\(e^x\)的麦克劳林展开式为

\[e^x=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}+O(x^n) \]

则

\[P(B)=1-e^x+O(x^n) \]

显然带入\(n\to \infty\)且\(x=-1\)时，\(P(B)=1-e^{-1}\)，即当信封和邮筒无穷多时，至少有一封信投对的概率为\(1-e^{-1}\)。

误差为

\[|P(B)-(1-e^-1)|=O(x^n)<\frac{1}{(n+1)!} \]

2. 乘法公式在条件概率下介绍。

3. 连续性：运算和取极限可以交换次序。

   

条件概率

\[P(A|B)\triangleq\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0 \]

乘法公式——多个事件积的概率：

\[P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1})\\ 条件是P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0。 \]

1. 互不相容又叫互斥，即两个事件不能同时发生，强调“同时发生”。发生了A就不能发生B，发生了B就不能发生A.

2. 相互独立即使两个事件各自发生与否与另一个事件的发生与否没有关系；A和B独立的意思就是，A发生和B发生没有关系，A发生不会影响B发生，A和B也可能同时发生，不过A和B互不影响。

其中加法公式要求互不相容；乘法公式要求相互独立。