数字信号处理(DSP)个人学习总结(三)——离散傅里叶级数
离散傅里叶级数
DFS定义
正交性
周期性
\[\tilde{X}[r N+k]=\tilde{X}[k]
\]
两性质结合的表达式：
\[\frac{1}{N} \sum_{\mathrm{n}=0}^{N-1} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{2 \pi k n}{N}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{-2 \pi / n}{N}}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & k-l=r N \\ 0 & k-l \neq r N \end{array}=\delta[k-l-r N]\right. \]
时域离散对应频域周期；时域周期对应频域离散。
计算技巧
-
对于\(1-e^{-j\pi k}\) ，可以提取出e的指数的一半，用来凑取欧拉公式如下
\[\left(\frac{e^{j \frac{\pi k}{2}}-e^{-j \frac{\pi k}{2}}}{2}\right) e^{-j \frac{\pi k}{2}}=isin(\frac{\pi k}{2})e^{-j\frac{\pi k}{2}} \] -
k所对应的频率可以用以下公式对应（DTFD的δ(ω)表示方式），得到频谱函数\(\omega=\frac{2\pi k}{N}\)
DTFT和DFS的关系
周期对应离散，非周期对应连续。
DFS的矩阵表示
即
本节习题
- 离散周期序列可由一个2π区间的有限个不同频率的离散复指数序列加权表示。
- 所有离散周期序列，都存在DFS。(不必绝对可和)
DFS的性质和定理
线性性质
时域移位性质
幅频不变，相频线性变换。
对比DTFT和DFS的相位
DTFT频域连续，对应微分；DFS频域离散，对应差分。
频域移位性质
频移等效为乘上一个复指数序列。
时间倒置性质
时域倒置对应频域倒置。
时域周期卷积定理
\[\begin{array}{c}
\tilde{y}[n]=\sum_{l=0}^{N-1} \tilde{x}[l] \tilde{h}[n-l]=\tilde{x}[n] \otimes \tilde{h}[n] \\
\tilde{Y}[k]=\tilde{X}[k] \tilde{H}[k]
\end{array}
\]
时域卷积对应频域乘积。
时域周期卷积定理
时域乘积对应频域卷积。
对偶性质
帕塞瓦尔定理
\[\sum_{n=0}^{N-1}|\tilde{x}[n]|^{2}=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}|\tilde{X}[k]|^{2}
\]
帕塞瓦尔定理更一般的形式如下：
\[\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}[n] \tilde{y}^{*}[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}[k] \tilde{Y}^{*}[k]
\]
本节习题
- 存疑：DFS卷积定理说明：LTI系统的输出可由频域相乘实现。(×)
DFS的对称性
一般序列的表示
- 任何序列可以表示为实部和虚部之和。
- 任何序列可以表示为共轭对称序列和共轭反对称序列之和。
- 共轭对称序列：实部偶对称，虚部奇对称。
- 共轭反对称序列：实部奇对称，虚部偶对称。
- 总结：
性质
- 实部倒置，虚部奇倒置；幅频倒置，相频奇倒置。
- 实部相同，虚部取反；幅频相同，相频取反。
- 序列的实部的DFS是原序列DFS的共轭对称，实部偶对称，虚部奇对称。幅度偶对称，相位奇对称。
- 序列的虚部乘以j的DFS是原序列DFS的共轭反对称，实部奇对称，虚部偶对称。幅度偶对称，相位奇对称。
- 共轭对称序列的DFS是原序列DFS的实部。
- 共轭反对称序列的DFS是原序列DFS的虚部乘以j。
总结：共轭对称对应实部，共轭反对称对应j乘以虚部
本章习题
利用DFS的共轭对称性来判断：
- 错误。应为必须满足x[n]=x*[-n]。
- 正确。
