数字信号处理(DSP)个人学习总结(二)——离散时间傅里叶变换(DTFT)

离散时间傅里叶变换

DTFT的定义和存在条件

定义

正交性和周期性

\[\begin{array}{l} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega m} \mathrm{~d} \omega=\left\{\begin{array}{cc} 1, & m=n \\ 0, & m \neq n \end{array}=\delta[m-n]\right. \\ \frac{1}{2 \pi} \int_{\omega_{0}-\pi}^{\omega_{0}+\pi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega m} \mathrm{~d} \omega=\left\{\begin{array}{cc} 1, & m=n \\ 0, & m \neq n \end{array}=\delta[m-n]\right. \end{array} \]

存在条件

DTFT存在，即\(X(e^{jw})\)可明确唯一表示。

一致收敛：（序列绝对可和是DTFT存在的充分条件）

均方收敛：（序列平方可和是DTFT存在的充分条件）

冲激表示：

本节习题

如果离散时间序列的DTFT存在，即该离散时间序列可由一个2π区间的无穷个不同频率的离散复指数序列加权表示。

离散时间序列的DTFT是周期的。

DTFT的性质

线性性质

时域移位性质

幅频不变，相频线性变换。

频域移位性质

时间倒置性质

时间倒置，DTFT幅度和相位倒置。

频域微分性质

对X(e^{jω})的ω求导数即可证明。

时域卷积定理

时域卷积等于频域乘积。

时域卷积定理的证明过程：

证明关键：交换求和次序。

帕塞瓦尔定理

可用时域或频域求出序列能量。

帕塞瓦尔定理的证明过程：

证明关键：交换求和次序

频域卷积定理

时域相乘等于频域卷积。

频域卷积定理的证明过程：

利用IDTFT的性质，并用带入法证明y[n]=x[n]*w[n]。

性质总结

补充：

本节习题

DTFT卷积定理说明：LTI系统的输出可由频域相乘实现。(并不是“任何系统”)

已知y(n)为因果实数序列，\(Y_o(e^{j\omega})=j3sin\omega+jsin3\omega\)，\(Y(e^{j\omega})|_{\omega = \pi}=3\)，求y(n)。

DTFT的对称性

利用对称性的序列表示

任何序列均可表示为共轭对称序列、共轭反对称序列之和。

对称性的性质

前两条性质：共轭序列与共轭倒置序列的DTFT

对于第二行式子：\(X^*(e^{-jω})\)对于\(X(e^{jω})\)而言，对于实部是左右倒置，对于虚部是左右倒置并且加上下倒置。即实部倒置，虚部奇倒置。
对于第三行式子：实部相同，虚部取反。

其余的性质：

序列的实部的DTFT是原序列DTFT的共轭对称[\(X_e(e^{jω}\))表示\((e^{jω})\)的共轭对称：(1/2)(原式＋原式共轭且自变量取反)]

\(X_e(e^{jω})\)对于\(X(e^{jω})\)而言，实部偶对称，虚部奇对称。幅频偶对称，相频奇对称 。

序列的虚部乘上j的DTFT是原序列DTFT的共轭反对称。

实部奇对称，虚部偶对称。幅频偶对称，相频奇对称。

序列的DTFT的实部对应原序列的共轭对称序列。

序列的DTFT的虚部乘上j对应原序列的共轭反对称序列。

总结：共轭对称对应实部，共轭反对称对应虚部。

本章习题

设\(X(e^{jω})\)是x[n]的傅里叶变换，试用\(X(e^{jω})\)表示以下序列的傅里叶变换：

(1)\(x[2n]\)

解题关键：利用DTFT定义式代入之后，利用

\[\frac{1}{2}[x(n)+(-1)^nx(n))] \]
表示x(n)序列只取n为偶数的部分。

然后由(-1)^n=e，利用线性性质，替换原序列DTFT内的不同的ω即可。

存疑：对应时域是采样率降低到原1/2，频域是每周期内的宽度扩展为2倍，幅值缩小为原1/2。

(2)\(x[\frac n2]\)，n为偶数

带入定义式即可，关键是利用DTFT的定义式

\[X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \mathrm{e}^{-j \omega n} \]
来对比前后ω的变化来将序列和转换为DTFT的形式。

本题结果为\(X(e^{j2ω})\)。

存疑：对应时域是采样率为原来的2倍，在原序列的中间插入0，频域是宽度压缩为原来的1/2。

(3)\(2^nu[-n]\)

带入定义式，用等比级数求和算即可。

(4)\(n(\frac{1}{2})^{|n|}\)

利用时域微分性质

只需先算出n之外的x[n]部分的DTFT，然后乘j并求导即可。

序列及其DTFT与共轭分量的关系：

其中x_e[n]为共轭偶对称分量，x_o[n]为共轭奇对称分量。

利用因果性的定义，与时序列的性质（可以去掉共轭符号）

分类讨论（n与0的不同大小关系），可以得出x[n]由x_e[n]或x_o[n]表示的表达式。

其中，实因果序列的x[n]借用\(x_e[n]\)或\(x_o[n]\)的两种表达式要熟记。

利用DTFT的性质，可以知道\(H(e^{jω})\)的实部对应的原序列为\(h_e[n]\)，因此可以通过DTFT的定义式求出原序列的\(h_e[n]\)序列，利用上一题得到的实因果序列的共轭偶对称分量与原序列的关系可以求出原序列，再对原序列进行DTFT即可求出\(H(e^{jω})\)。